【NOI1999】生日蛋糕

【NOI1999】生日蛋糕

Description

7月17日是Mr.W的生日，ACM-THU为此要制作一个体积为Nπ的M层生日蛋糕，每层都是一个圆柱体。

设从下往上数第i(1<=i<=M)层蛋糕是半径为Ri,高度为Hi的圆柱。当i时，要求Ri>Ri+1且Hi>Hi+1。

由于要在蛋糕上抹奶油，为尽可能节约经费，我们希望蛋糕外表面（最下一层的下底面除外）的面积Q最小。

令Q= Sπ

请编程对给出的N和M，找出蛋糕的制作方案（适当的Ri和Hi的值），使S最小。

（除Q外，以上所有数据皆为正整数）

Input

有两行，第一行为N（N＜=10000），表示待制作的蛋糕的体积为Nπ；第二行为M(M＜=20)，表示蛋糕的层数为M。

Output

仅一行，是一个正整数S（若无解则S=0）。

Sample Input

100

2

Sample Output

68

Hint

附：圆柱公式

体积V=πR^2H

侧面积A’=2πRH

底面积A=πR^2

Source

[NOI1999]

数学，搜索，剪枝

Solution

对于这道题的面积，显然只有最底一层的表面积需要计算，其他层只需要考虑侧面积

首先考虑到直接搜索会很慢，需要考虑到剪枝，我写了两个剪枝：

可行性剪枝（对体积）：当前体积加上下一层最小的体积也比n大，那么该种方案不可行；

最优性剪枝（对面积）：１、当前面积加上下一层的最小侧面积比记录的ans大，那么该种方案定然不是最优的；２、如果剩余体积对应的下一层侧面积加上当前面积大于等于ans，该方案不是最优的（必须是大于等于因为下一层的半径取不到当前的r）

剪完枝后就可以枚举下一层面积以及下一层高度，递归搜索即可

为了方便，我预处理出了每一层的最小体积以及最小面积存于a、b数组中

Code

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <cstring>#include <algorithm>#include <cmath>#include <stack>#include <map>#include <vector>#include <queue>#define INF 2147483647#define LL long longusing namespace std;int n, m, a[30], b[30], ans = INF;inline void search(int v, int s, int p, int r, int h) {//v-->now V, s-->now S, p-->number, r-->now R, h-->now H  if (p == 0) {    if (v == n && s < ans) ans = s;    return ;  }  //possible  if (v + b[p - 1] > n) return ;  //better  if (s + a[p - 1] > ans) return ;  if (2 * (n - v) / r + s>= ans) return ;  //search the next level's height  for (int i = r - 1; i >= p; --i) {//for R    if (p == m) s = i * i;    int hh = min(h - 1, (n - v - b[p - 1]) / (i * i));    for (int j = hh; j >= p; --j) search(v + i * i * j, s + 2 * i * j, p - 1, i, j);//for H  }}int main() {  freopen("1221.in", "r", stdin);  freopen("1221.out", "w", stdout);  scanf("%d %d", &n, &m);  for (int i = 1; i <= 20; ++i) a[i] = a[i - 1] + 2 * i * i, b[i] = b[i - 1] + i * i * i;  search(0, 0, m, n + 1, n + 1);  if (ans >= INF) printf("0\n");  else printf("%d\n", ans);  return 0;}

Summary

注意判断不存在答案的情况