bzoj 2734: 2734: [HNOI2012]集合选数 （状压DP）

2734: [HNOI2012]集合选数

Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 128 MB
Submit: 1274  Solved: 748
[Submit][Status][Discuss]

Description

《集合论与图论》这门课程有一道作业题，要求同学们求出{1, 2, 3, 4, 5}的所有满足以 下条件的子集：若 x 在该子集中，则 2x 和 3x 不能在该子集中。同学们不喜欢这种具有枚举性 质的题目，于是把它变成了以下问题：对于任意一个正整数 n≤100000，如何求出{1, 2,..., n} 的满足上述约束条件的子集的个数（只需输出对 1,000,000,001 取模的结果），现在这个问题就 交给你了。 
 

Input

 只有一行，其中有一个正整数 n，30%的数据满足 n≤20。 
 

Output

 仅包含一个正整数，表示{1, 2,..., n}有多少个满足上述约束条件 的子集。 
 

Sample Input

4

Sample Output

8

【样例解释】

有8 个集合满足要求，分别是空集，{1}，{1，4}，{2}，{2，3}，{3}，{3，4}，{4}。

HINT

Source

day2

[Submit][Status][Discuss]

题解：状压DP

这道题其实是一道不错的思路题。刚开始毫无思路因为这个范围直接DP比较困难，容斥貌似也不可做。然后看了一下tag是状压DP，就强行将自己的思路掰到状压DP的思路上。

因为x,2x,3x不能同时入选，所以考虑他们之间的关系。构造方阵

x  3x  9x  27x....

2x 6x  18x 54x....

4x 12x 36x 108x....

我们可以发现对于每个位置来说，只有他上面和左边的数没有选的时候他才可以入选，如果只考虑这一个方阵的合法方案的话，我们容易想到用类似bzoj1087互不侵犯King的状压方式来做。

先判断一行的方案是否合法，再判断某两种方案相邻是否合法，最后用f[i][j]表示第i行选j方案的合法数量。

那么我们其实可以把1..n范围内的所有数分成好多的矩阵，然后求最终答案的时候就是每个矩阵答案的乘积。

需要注意的是我们确定了x后，矩阵中有些位置是取不到的需要判掉。对于x，一定是不含2,3因子的数，矩阵的大小应该是log3(n/x)*log2(n/x).

为什么一定是每行以3的倍数递增？因为log3最大是11，而log2是17，我们DP的极限是O(17*2^11*2^11)。

#include<iostream>#include<cstdio>#include<algorithm>#include<cstring>#include<cmath>#define p 1000000001using namespace std;bool line[1<<11],ok[1<<11][1<<11];int cnt[1<<11],f[30][1<<11],mi[30],n,g[30][1<<11];int main(){freopen("a.in","r",stdin);//freopen("my.out","w",stdout);scanf("%d",&n);int m=log2(n)/log2(3); m++;for (int i=0;i<(1<<m);i++) if (((i>>1)&i)==0) line[i]=1;for (int i=0;i<(1<<m);i++) for (int j=0;j<(1<<m);j++)  if ((i&j)==0&&line[i]&&line[j]) ok[i][j]=1;    mi[0]=1;    for (int i=1;i<=17;i++) mi[i]=mi[i-1]*3;int k=log2(n); k++;long long ans=1;for (int x=1;x<=n;x++)  if (x%2!=0&&x%3!=0){int t=n/x;int M=log2(t)/log2(3); M++;int K=log2(t); K++; for (int i=0;i<(1<<M);i++) {cnt[i]=0;for (int j=0;j<M;j++)  if ((i>>j)&1) cnt[i]=j;}memset(g,0,sizeof(g));for (int i=0;i<(1<<M);i++) if (line[i]&&(long long)x*mi[cnt[i]]<=n) g[1][i]=1;for (int c=2,i=1;i<=K;i++,c*=2)  for (int j=0;j<(1<<M);j++)  for (int l=0;l<(1<<M);l++)   if (ok[j][l]&&(long long)x*c*mi[cnt[l]]<=n)     g[i+1][l]=(g[i+1][l]+g[i][j])%p;int  sum=0;for (int j=0;j<(1<<M);j++) sum=(sum+g[K][j])%p;ans=(long long)ans*sum%p;}printf("%lld\n",ans);}