AUC原理介绍及求解方法总结

 

前面的一个帖子中谈到了在决策树模型下计算AUC的问题，主要是讨论如何用决策树得到test samples的更为合理的rank。但是，关于怎么计算AUC却没有详细说明。本文试图总结和理清楚AUC计算这个问题，这么做，除了因为AUC本身比较常用和重要以外，还有以下两个方面的原因： 

a. 有些做machine learning的同行，没有仔细的搞清楚AUC到底是怎么回事。就写文章(竟然发表在KDD上……)告诉读者他们是多么麻烦的计算AUC！ 

b. 我们实验室在研究过程中，也实际的需要计算AUC。一开始的时候，我在这个问题的认识上也经历了一段模糊期。所以，我想写这篇帖子还是会有些价值的。 

让我们从头说起，首先AUC是一种用来度量分类模型好坏的一个标准。这样的标准其实有很多，例如：大约10年前在 machine learning文献中一统天下的标准：分类精度；在信息检索(IR)领域中常用的recall和precision，等等。其实，度量反应了人们对” 好”的分类结果的追求，同一时期的不同的度量反映了人们对什么是”好”这个最根本问题的不同认识，而不同时期流行的度量则反映了人们认识事物的深度的变 化。近年来，随着machine learning的相关技术从实验室走向实际应用，一些实际的问题对度量标准提出了新的需求。特别的，现实中样本在不同类别上的不均衡分布(class distribution imbalance problem)。使得accuracy这样的传统的度量标准不能恰当的反应分类器的performance。举个例子：测试样本中有A类样本90个，B 类样本10个。分类器C1把所有的测试样本都分成了A类，分类器C2把A类的90个样本分对了70个，B类的10个样本分对了5个。则C1的分类精度为 90%，C2的分类精度为75%。但是，显然C2更有用些。另外，在一些分类问题中犯不同的错误代价是不同的(cost sensitive learning)。这样，默认0.5为分类阈值的传统做法也显得不恰当了。 

为了解决上述问题，人们从医疗分析领域引入了一种新的分类模型performance评判方法——ROC分析。ROC分析本身就是一个很丰富的内容，有兴趣的读者可以自行Google。由于我自己对ROC分析的内容了解还不深刻，所以这里只做些简单的概念性的介绍。 

ROC的全名叫做Receiver Operating Characteristic，其主要分析工具是一个画在二维平面上的曲线——ROC curve。平面的横坐标是false positive rate(FPR)虚惊概率，纵坐标是true positive rate(TPR)集中概率。对某个分类器而言，我们可以根据其在测试样本上的表现得到一个TPR和FPR点对。这样，此分类器就可以映射成ROC平面上的一个 点。调整这个分类器分类时候使用的阈值，我们就可以得到一个经过(0, 0)，(1, 1)的曲线，这就是此分类器的ROC曲线。一般情况下，这个曲线都应该处于(0, 0)和(1, 1)连线的上方。因为(0, 0)和(1, 1)连线形成的ROC曲线实际上代表的是一个随机分类器。如果很不幸，你得到一个位于此直线下方的分类器的话，一个直观的补救办法就是把所有的预测结果反 向，即：分类器输出结果为正类，则最终分类的结果为负类，反之，则为正类。虽然，用ROC curve来表示分类器的performance很直观好用。可是，人们总是希望能有一个数值来标志分类器的好坏。于是Area Under roc Curve(AUC)就出现了。顾名思义，AUC的值就是处于ROC curve下方的那部分面积的大小。通常，AUC的值介于0.5到1.0之间，较大的AUC代表了较好的performance。好了，到此为止，所有的 前续介绍部分结束，下面进入本篇帖子的主题：AUC的计算方法总结。 

   1. 最直观的，根据AUC这个名称，我们知道，计算出ROC曲线下面的面积，就是AUC的值。事实上，这也是在早期 Machine Learning文献中常见的AUC计算方法。由于我们的测试样本是有限的。我们得到的AUC曲线必然是一个阶梯状的。因此，计算的AUC也就是这些阶梯 下面的面积之和。这样，我们先把score排序(假设score越大，此样本属于正类的概率越大)，然后一边扫描就可以得到我们想要的AUC。但是，这么 做有个缺点，就是当多个测试样本的score相等的时候，我们调整一下阈值，得到的不是曲线一个阶梯往上或者往右的延展，而是斜着向上形成一个梯形。此 时，我们就需要计算这个梯形的面积。由此，我们可以看到，用这种方法计算AUC实际上是比较麻烦的。 
   2. 一个关于AUC的很有趣的性质是，它和Wilcoxon-Mann-Witney Test是等价的。这个等价关系的证明留在下篇帖子中给出。而Wilcoxon-Mann-Witney Test就是测试任意给一个正类样本和一个负类样本，正类样本的score有多大的概率大于负类样本的score。有了这个定义，我们就得到了另外一中计 算AUC的办法：得到这个概率。我们知道，在有限样本中我们常用的得到概率的办法就是通过频率来估计之。这种估计随着样本规模的扩大而逐渐逼近真实值。这 和上面的方法中，样本数越多，计算的AUC越准确类似，也和计算积分的时候，小区间划分的越细，计算的越准确是同样的道理。具体来说就是统计一下所有的 M×N(M为正类样本的数目，N为负类样本的数目)个正负样本对中，有多少个组中的正样本的score大于负样本的score。当二元组中正负样本的 score相等的时候，按照0.5计算。然后除以MN。实现这个方法的复杂度为O(n^2)。n为样本数（即n=M+N） 
   3. 
      第三种方法实际上和上述第二种方法是一样的，但是复杂度减小了。它也是首先对score从大到小排序，然后令最大score对应的sample 的rank为n，第二大score对应sample的rank为n-1，以此类推。然后把所有的正类样本的rank相加，再减去正类样本的score为最 小的那M个值的情况。得到的就是所有的样本中有多少对正类样本的score大于负类样本的score。然后再除以M×N。即 


 


      另外，特别需要注意的是，再存在score相等的情况时，对相等score的样本，需要 赋予相同的rank(无论这个相等的score是出现在同类样本还是不同类的样本之间，都需要这样处理)。具体操作就是再把所有这些score相等的样本 的rank取平均。然后再使用上述公式。 

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ROC(Receiver Operating Characteristic)曲线,用于二分类判别效果的分析与评价.一般自变量为连续变量,因变量为二分类变量. 
基 本原理是:通过判断点(cutoff point/cutoff value)的移动,获得多对灵敏度(sensitivity)和误判率(1-Specificity(特异度)),以灵敏度为纵轴,以误判率为横轴,连 接各点绘制曲线,然后计算曲线下的面积,面积越大,判断价值越高. 
灵敏度:就是把实际为真值的判断为真值的概率. 
特异度:就是把实际为假值的判断为假值的概率. 
将绘成的曲线与斜45度的直线对比,若差不多重合,说明自变量对因变量的判断价值很差,若越远离斜45度的直线即曲线下的面积越大,说明自变量对因变量的判断价值越好,即根据自变量可以较为正确的判断因变量. 
使用SPSS的操作过程如下: 
Graphs/ROC Curve:Test variable选自变量(连续型变量),state varibale选因变量(二分类变量)display的选项一般全选. 
运行结果:1.ROC曲线,可直观地看到曲线形状. 
2.Area under the curve:曲线下方的面积,包括面积值,显著性分析,置信区间. 
3.Coordinates of the curve:ROC曲线各点对应的灵敏度和误判率.

一、roc曲线

1、roc曲线：接收者操作特征(receiveroperating characteristic),roc曲线上每个点反映着对同一信号刺激的感受性。

横轴：负正类率(false postive rate FPR)特异度，划分实例中所有负例占所有负例的比例；(1-Specificity)

纵轴：真正类率(true postive rate TPR)灵敏度，Sensitivity(正类覆盖率)

2针对一个二分类问题，将实例分成正类(postive)或者负类(negative)。但是实际中分类时，会出现四种情况.

(1)若一个实例是正类并且被预测为正类，即为真正类(True Postive TP)

(2)若一个实例是正类，但是被预测成为负类，即为假负类(False Negative FN)

(3)若一个实例是负类，但是被预测成为正类，即为假正类(False Postive FP)

(4)若一个实例是负类，但是被预测成为负类，即为真负类(True Negative TN)

TP:正确的肯定数目

FN:漏报，没有找到正确匹配的数目

FP:误报，没有的匹配不正确

TN:正确拒绝的非匹配数目

列联表如下，1代表正类，0代表负类：

由上表可得出横，纵轴的计算公式：

(1)真正类率(True Postive Rate)TPR: TP/(TP+FN),代表分类器预测的正类中实际正实例占所有正实例的比例。Sensitivity

(2)负正类率(False Postive Rate)FPR: FP/(FP+TN)，代表分类器预测的正类中实际负实例占所有负实例的比例。1-Specificity

(3)真负类率(True Negative Rate)TNR: TN/(FP+TN),代表分类器预测的负类中实际负实例占所有负实例的比例，TNR=1-FPR。Specificity

假设采用逻辑回归分类器，其给出针对每个实例为正类的概率，那么通过设定一个阈值如0.6，概率大于等于0.6的为正类，小于0.6的为负类。对应的就可以算出一组(FPR,TPR),在平面中得到对应坐标点。随着阈值的逐渐减小，越来越多的实例被划分为正类，但是这些正类中同样也掺杂着真正的负实例，即TPR和FPR会同时增大。阈值最大时，对应坐标点为(0,0),阈值最小时，对应坐标点(1,1)。

如下面这幅图，(a)图中实线为ROC曲线，线上每个点对应一个阈值。

 

横轴FPR:1-TNR,1-Specificity，FPR越大，预测正类中实际负类越多。

纵轴TPR：Sensitivity(正类覆盖率),TPR越大，预测正类中实际正类越多。

理想目标：TPR=1，FPR=0,即图中(0,1)点，故ROC曲线越靠拢(0,1)点，越偏离45度对角线越好，Sensitivity、Specificity越大效果越好。

二 如何画roc曲线

假设已经得出一系列样本被划分为正类的概率，然后按照大小排序，下图是一个示例，图中共有20个测试样本，“Class”一栏表示每个测试样本真正的标签（p表示正样本，n表示负样本），“Score”表示每个测试样本属于正样本的概率。

 

接下来，我们从高到低，依次将“Score”值作为阈值threshold，当测试样本属于正样本的概率大于或等于这个threshold时，我们认为它为正样本，否则为负样本。举例来说，对于图中的第4个样本，其“Score”值为0.6，那么样本1，2，3，4都被认为是正样本，因为它们的“Score”值都大于等于0.6，而其他样本则都认为是负样本。每次选取一个不同的threshold，我们就可以得到一组FPR和TPR，即ROC曲线上的一点。这样一来，我们一共得到了20组FPR和TPR的值，将它们画在ROC曲线的结果如下图：

  

AUC(Area under Curve)：Roc曲线下的面积，介于0.1和1之间。Auc作为数值可以直观的评价分类器的好坏，值越大越好。

首先AUC值是一个概率值，当你随机挑选一个正样本以及负样本，当前的分类算法根据计算得到的Score值将这个正样本排在负样本前面的概率就是AUC值，AUC值越大，当前分类算法越有可能将正样本排在负样本前面，从而能够更好地分类。

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