RMQ小结 poj 3264 poj3368

1. 概述

RMQ（Range Minimum/MaximumQuery），即区间最值查询，是指这样一个问题：对于长度为n的数列A，回答若干询问RMQ（A,i,j）(i,j<=n)，返回数列A中下标在i，j之间的最小/大值。这两个问题是在实际应用中经常遇到的问题。每次用一个循环来计算区间最值显然不够快，怎么办呢？实践中最常用的是Tarjan的Sparse-Table 算法
，预处理O(nlgn），但是查询时间只要O(1)，而且常数很小。更重要是，这个算法比线段树好写多了（除了ZKW大牛的线段树 Orz我看过最简洁的写法）.

2.原理

令d(i,j)表示 从i开始的，长度为xj的一段元素中的最值,则可以用递推的方式计算
d(i,j)=d(i,j)=min{d(i,j),d(i+2j−1,j-1)}。

注意2j<=n,因此d数组的元素个数不超过nlogn，每一项又可以在常数时间计算出来,固总时间是O(nlogn)。

预处理模板：

void RMQ_init(const vector<int>& A){//下标从0开始   int n=A.size();   for(int i=0;i<n;i++) dmin[i][0]=A[i],dmax[i][0]=A[i];   for(int j=1;(1<<j)<=n;j++){     for(int i=0;i+(1<<j)-1<n;i++){        dmin[i][j]=min(dmin[i][j-1],dmin[i+(1<<(j-1))][j-1]);        dmax[i][j]=max(dmax[i][j-1],dmax[i+(1<<(j-1))][j-1]);     }   }}

查询

查询操作很简单，另k为满足2k<=R-K+1的最大整数，则L开头，以R结尾的两个长度为2k的区间合起来覆盖了区间[L,R].由于取得是极值，有些元素重复考虑也没有关系。（注意如果是累加，重复元素是不允许的）。

int rmq(int l,int r,int ok){//ok=0返回最小值,ok=1返回最大值   int k=0;   while((1<<(k+1))<=r-l+1) k++;   return ok==0 ? min(dmin[l][k],dmin[r-(1<<k)+1][k]) : max(dmax[l][k],dmax[r-(1<<k)+1][k]);}

题目：
poj 3264
裸的求区间极值问题，直接套模板。

#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#include<iostream>using namespace std;typedef long long ll;const int N=(1<<16);int n,q,dmin[N][20],dmax[N][20],a[N];void RMQ_init(){   for(int i=0;i<n;i++) dmin[i][0]=a[i],dmax[i][0]=a[i];   for(int j=1;(1<<j)<=n;j++){     for(int i=0;i+(1<<j)-1<n;i++){        dmin[i][j]=min(dmin[i][j-1],dmin[i+(1<<(j-1))][j-1]);        dmax[i][j]=max(dmax[i][j-1],dmax[i+(1<<(j-1))][j-1]);     }   }}int rmq(int l,int r,int ok){   int k=0;   while((1<<(k+1))<=r-l+1) k++;   return ok==0 ? min(dmin[l][k],dmin[r-(1<<k)+1][k]) : max(dmax[l][k],dmax[r-(1<<k)+1][k]);}int main(){   while(~scanf("%d %d",&n,&q)){     for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&a[i]);     //for(int i=0;i<n;i++) cout<<a[i]<<endl;     RMQ_init();     for(int i=0;i<q;i++){         int l,r;scanf("%d%d",&l,&r);         printf("%d\n",rmq(l-1,r-1,1)-rmq(l-1,r-1,0));     }   }}

poj3368&&uva11235
题意：给你一组非降序元素，查询某个区间内连续出现次数最多的一个数出现的次数.
思路:用value[i]和cnt[i]分别表示第i段的数值和出现的次数，l[i],r[i]表示第i段的数值最左边和最右边端点的位置,num[p]表示位置p所在段的编号。
每次查询[L，r]区间的结果为以下3个部分的最大值：从L到L所在段的结束处的元素的个数（r[L]-L+1)，从R到R所在段结束处元素的个数（R-l[R]+1),中间num[L]+1段到num[R]-1段的cnt的最大值,而这部分求解就用到RMQ。

#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;const int N=1<<17;int value[N],cnt[N],num[N],l[N],r[N],d[N][20],t,a[N];void RMQ_init(){   memset(d,0,sizeof(d));   for(int i=0;i<t;i++) d[i][0]=cnt[i];   for(int j=1;(1<<j)<=t;j++){     for(int i=0;i+(1<<j)-1<t;i++){        d[i][j]=max(d[i][j-1],d[i+(1<<(j-1))][j-1]);     }   }}int rmq(int l,int r){   int k=0;   while((1<<(k+1))<=r-l+1) k++;   return max(d[l][k],d[r-(1<<k)+1][k]);}int main(){   int n,q;   while(scanf("%d",&n)&&n){     scanf("%d",&q);     int lx;scanf("%d",&lx);value[0]=lx;cnt[0]=1;num[0]=t;l[0]=0;r[0]=0;     for(int i=1;i<n;i++){        int x;scanf("%d",&x);        if(lx!=x){           t++;           value[t]=x;cnt[t]=0;           num[i]=t;l[t]=i;r[t]=i;        }        else{           num[i]=t;r[t]=i;           cnt[t]=max(cnt[t],i-l[num[i]]+1);        }        lx=x;     }     t++;     RMQ_init();     for(int i=0;i<q;i++){        int L,R;scanf("%d%d",&L,&R);L--;R--;        if(num[L]==num[R]) printf("%d\n",R-L+1);        else{           int ans=max(r[num[L]]-L+1,R-l[num[R]]+1);           if(num[L]+1<=num[R]-1)  ans=max(ans,rmq(num[L]+1,num[R]-1));           printf("%d\n",ans);        }     }   }}