动态规划算法概括

前面讲了动态规划的一些常规应用，下面来看几个树形动态规划的例子。当然不管是什么样的动态规划，核心都在于如何构造状态转移方程。

一、节点选择问题

1.问题描述：

有一棵 n 个节点的树，树上每个节点都有一个正整数权值。如果一个点被选择了，那么在树上和它相邻的点都不能被选择。求选出的点的权值和最大是多少？

输入格式

第一行包含一个整数 n 。

接下来的一行包含 n 个正整数，第 i 个正整数代表点 i 的权值。

接下来一共 n-1 行，每行描述树上的一条边。

输出格式

输出一个整数，代表选出的点的权值和的最大值。

样例输入

5
1 2 3 4 5
1 2
1 3
2 4
2 5

样例输出

12

样例说明

选择3、4、5号点，权值和为 3+4+5 = 12 。

数据规模与约定

对于20%的数据， n <= 20。

对于50%的数据， n <= 1000。

对于100%的数据， n <= 100000。

权值均为不超过1000的正整数。

2.思路分析：

用dp[i][0]表示不选择i点时，i点及其子树能选出的最大权值，dp[i][1]表示选择i点时，i点及其子树的最大权值。

状态转移方程:
对于叶子节点 dp[k][0] = 0, dp[k][1] = k点权值
对于非叶子节点i,
dp[i][0] = ∑max(dp[j][0], dp[j][1]) (j是i的儿子)
dp[i][1] = i点权值 + ∑dp[j][0] (j是i的儿子) 
最大权值即为max(dp[i][0], dp[i][1])

3.代码如下：

package 树形动态规划;import java.util.Scanner;public class Main {    public int[][] dp = new int[100002][2];       public int[][] tree = new int[100002][300];  //tree[i][3] = num表示第i个节点的第3个孩子节点为第num个节点    /*     * 参数point1:表示输入的第point1个节点，不是节点权值     * 参数point2:表示输入的第point2的节点，不是节点权值     * 说明：由于题目仅仅给出边的说明，并未说明两个节点谁是父母节点，所以以下有两种情形     */    public void creatTree(int point1, int point2) {        int i = 0;        //当第point1个节点为父母节点时        while(tree[point1][i] != 0) i++;  //如果第point1个节点已经有孩子了，再增加一个孩子          tree[point1][i] = point2;        int j = 0;        //当第point2个节点为父母节点时        while(tree[point2][j] != 0) j++;        tree[point2][j] = point1;    }    /*     * 参数satrt:开始对树进行DFS遍历的开始节点，为具体节点位置，不是节点权值     * 参数root:为第start个节点的直接父母节点位置，root = 0表示根节点的父母节点     */    public void dfs(int start, int root) {        int child = tree[start][0];  //第start个节点的第1个孩子节点        for(int i = 0;child != 0;i++) {            child = tree[start][i];            if(child != root) {  //防止出现start的孩子成为start的父亲情况                dfs(child, start);                dp[start][1] += dp[child][0];  //当第child个节点没有孩子节点时，开始回溯                dp[start][0] += (dp[child][1] > dp[child][0] ? dp[child][1] : dp[child][0]);            }        }    }        public static void main(String[] args) {        Main test = new Main();        Scanner in = new Scanner(System.in);        int n = in.nextInt();        for(int i = 0;i < n;i++)            test.dp[i + 1][1] = in.nextInt();        for(int i = 0;i < n - 1;i++) {            int point1 = in.nextInt();            int point2 = in.nextInt();            test.creatTree(point1, point2);        }        test.dfs(1, 0);   //从创建的数的根节点（即第1个顶点，0表示根节点的父母节点）开始进行DFS遍历        int max = (test.dp[1][1] > test.dp[1][0] ? test.dp[1][1] : test.dp[1][0]);        System.out.println(max);    }}