埃尔米特多项式 (Hermite Polynomials)简介(1)
来源:互联网 发布:仿百度贴吧php源码 编辑:程序博客网 时间:2024/05/16 16:10
最近在做一个数值逼近的算法,里面用到了埃尔米特多项式。所以就花了些时间推导了一遍,推导笔记放在这里算是给自己做个备忘。
埃尔米特多项式 (Hermite Polynomials)简介(1)
埃尔米特多项式是一组正交的多项式。就如许多其他的以人名命名的数学公式一样,埃尔米特多项式其实也并不是埃尔米特第一个提出的。 Laplace 在 1810 年一篇论文中就给出了埃尔米特多项式的系数,Chebyshev 则在 1859 年的一篇论文中详细的讨论了埃尔米特多项式的各种性质。可惜 Chebyshev 的这篇论文并没有引起学术圈应由的重视。 Charles Hermite 在 1864 年的一篇文章中才提到埃尔米特多项式,这已经比 Laplace 最初的研究成果晚了 54 年。
由于物理学家的小圈子与数学家的小圈子相对独立,现在有两种定义略有不同的埃尔米特多项式。一种被称为“统计学家的埃尔米特多项式”,另一种的被称为“物理学家的埃尔米特多项式”。这两种埃尔米特多项式的系数是有联系的,这里我只介绍“物理学家的埃尔米特多项式”。
前 10 个 埃尔米特多项式如下:
由微分方程引入埃尔米特多项式
常微分方程:
被称为 埃尔米特 方程。
对这个级数求导可以得到:
带入埃尔米特方程得到:
考察
所以:
考察
所以
考察
所以:
不难看出,对于偶次项,有:
对于奇次项,有:
可以看出奇数和偶数是两套独立的递推系数,因此可以这样写:
当
同理,当
按照这个思路,选择合适的
当
当
当
当
当
这正是我们的埃尔米特多项式。
埃尔米特多项式的母函数和递推公式
上面的方式虽然推导出了埃尔米特多项式,但是用起来并不方便。实际上,函数
其中的系数
首先,容易验证:
把
比较两边
所以 :
可知,
最后这个式子就是埃尔米特方程,而埃尔米特方程的多项式解只能是埃尔米特多项式。
上面的推导过程中同时还给出了埃尔米特多项式的递推公式:
有了这个递推公式,再计算埃尔米特多项式就容易多了。
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