ACM春季讲座（一）笔记

2017.03.17

算法复杂度

时间复杂度

时间复杂度是指执行算法所需要的计算工作量；（算法的复杂性体现在运行该算法时的计算机所需资源的多少上，计算机资源最重要的是时间和空间（即寄存器）资源，因此复杂度分为时间和空间复杂度）。

例子：如 for (i=1;i<=n;i++) –> O(n);
再加一层for循环，则O(n^2);

时间复杂度

空间复杂度是指执行这个算法所需要的内存空间。

例子：如 int a[n]; –> O(n);

冗余

冗余有两层含义，第一层含义是指多余的不需要的部分，第二层含义是指人为增加地重复部分。

例：给定一串序列 X1，X2，X3……Xn，求连续子序列和的最大值。

法一：暴力枚举解法

改进：sum[i][j]存储Xi-Xj的子序列和，则sum[i][j]=sum[i][j-1]+Xj;

再改进：若sum[i][j]<0，则break，因为后面不可能会出现最大值。

证：sum[i][j]<0,设sum[i][j+n]=max，则sum[j+1][j+n]=sum[i][j+n]-sum[i][j]>max，矛盾；

再再改进：若sum[i][j]<0,则i=j+1继续枚举；

法二：前缀和

算出每个数的前缀和C，则题目可变成求 C[R]-C[L] 的最大值，则给定任意R，求1-R的C最小值min，给定R+1的时候，可对比min与C[R+1]的大小即可

贪心

在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。也就是说，不从整体最优上加以考虑，他所做出的是在某种意义上的局部最优解。

例：1元，5元，10元的硬币，问求需要购买X元的物品最少需要多少个硬币？

则对10元贪心。

例：第I件工作开始的时间为Si，结束时间为Ti，求给定时间最多能做多少工作？

则对结束时间Ti贪心。

分治

分治算法的基本思想是将一个规模为N的问题分解为K个规模较小的子问题，这些子问题相互独立且与原问题性质相同。求出子问题的解，就可得到原问题的解。即一种分目标完成程序算法，简单问题可用二分法完成。

如需要处理[1,8]个数据，则可以先处理[1,4],[5,8]–>[1,2][3,4]，[5,6][7,8]

归并算法与逆序对

（例子忘了记，从百度上截取了一段）

如　设有数列{6，202，100，301，38，8，1}

初始状态：6,202,100,301,38,8，1

第一次归并后：{6,202},{100,301},{8,38},{1}，比较次数：3；

第二次归并后：{6,100,202,301}，{1,8,38}，比较次数：4；

第三次归并后：{1,6,8,38,100,202,301},比较次数：4；

时间复杂度：O(nlogn) 空间复杂度：O(n)

逆序对：在归并的过程中计算每个小区间的逆序对数，进而计算出大区间的逆序对数

二分

二分查找的基本思想是将n个元素分成大致相等的两部分，取a[n/2]与x做比较，如果x=a[n/2],则找到x,算法中止；如果x

倍增（ST算法解RMQ）

RMQ:Range Minimum/Maximum Query 即区间最值查询，是指这样一个问题：对于长度为n的数列A，回答若干询问RMQ（A,i,j）(i,j<=n)，返回数列A中下标在i，j之间的最小/大值。

ST:SparseTable 在O(nlogn)时间内进行预处理，然后在O(1)时间内回答每个查询,首先进行预处理，然后查询

预处理：先算出一个数的最小值，然后算两个数，然后算四个数，然后算八个数。其中四个数可以通过两个数的最小值互相比较得出，以此类推。

动规方程：F[i, j]=max（F[i，j-1], F[i + 2^(j-1)，j-1]）

查询：设有n个数，则找出2^i < n < 2^i + 1, 算前面2^i 个数的最小值，算后面2^i个数的最小值，二者相比即可得到

如：给数列{2,1,0,4,7,-1,5}

求2^0个数:2 1 0 4 7 -1 5

求2^1个数:1 0 0 4 -1 -1 5

求2^2个数: [1,2]的2^1 最小值和[3,4]的2^1 最小值相比即可得到 [1,4] 的最小值 以此类推

求[1,7]的最小值可从预处理中得到前四个数最小值，以及后四个数最小值，二者相比即可

贴几个写笔记过程中的参考：

rmq问题–st算法

RMQ问题之ST算法

[Jobdu] 题目1544：数字序列区间最小值

动态规划

下节讲座的内容

先贴上参考博客：

教你彻底学会动态规划——入门篇

很特别的一个动态规划入门教程

后记：收获很大的一节讲座，感觉这是我一直渴望的学习，高中参加竞赛培训时一直很遗憾没能好好学习这些算法思想，而现在我大概找到了自己想要努力的方向。听讲座时讲到RMQ问题完全是一脸懵逼，结束后一群人围在讲台让学长重新讲了遍，还偶遇了师姐，这才是该有的学习的态度啊。感谢学长的精彩授课~笔记没有用很规范的语言写，通俗易懂就好。