中心极限定理的一个例子：大小医院的新生儿

一个问题

在复习概率论与数理统计的时候，发现一个有趣的例子：
两家医院，大医院每天新生儿45个，小医院新生儿15个，问一年内哪家医院男新生儿比例超过60%的天数多的可能性大？

乍眼一看，直觉告诉我新生儿的自然男女比例应该固定在50%左右的某个值，两家医院的男女概率应该都是这个值，所以两家医院的可能性相同。
答案明显没那么简单。

这里想引入两个定律：

伯努利大数定律

设μn是n重伯努利试验中事件A发生的次数，已知在每次试验中A发生的概率为p(0<p<1)，则对任意ϵ>0，有

limn→∞P{|μnn−p|>ϵ}=0

即μnn→p或P−limn→∞μnn=p

大数定律的意思是如果一个事件A的概率为p，那么大量重复试验中事件A发生的概率将逐渐稳定到概率p。

但大数定律并没有告诉我们，当n充分大时，P{|μnn−p|>ϵ}的概率到底有多大。此时引入中心极限定理。

中心极限定理

（林德伯格-列维）设ξ1,ξ2,…,ξn,…是一列独立同分布的随机变量，且Eξi=μ，D(ξi)=σ2>0，i=1,2,…，则有

limn→∞{∑ni=1ξi−nμn√σ≤x}=12π−−√∫x−∞e−t22dt

即∑ni=1ξi−nμn√σ∼N(0,1)

大数定律没有告诉我们P{|μnn−p|>ϵ}的概率到底有多大，但中心极限定理告诉了我们：

1n∑i=1nξi−μ∼N(0,1nσ2)

这个分布告诉我们，当n越大时，1n∑ni=1ξi−μ服从的正态分布的方差越小，1n∑ni=1ξi靠近μ的概率就越大。

解答

回到新生儿问题，大医院一天的样本量比小医院的样本量要多，所以大医院1n∑ni=1ξi−μ服从的正态分布的方差要比小医院的小，所以大医院在x=0.1(60%-50%)的概率要比小医院的小，即大医院一天男新生儿多于60%的可能性比小医院的要小。

所以正确答案是小医院的可能性大。