tensor理解

来源：互联网发布：惠普手机打印软件编辑：程序博客网时间：2024/06/15 05:40

张量是一类多线性映射，工程中的张量实际上只是系数。

零阶张量是数，一阶张量是向量。二阶张量是矩阵，三阶张量是立体矩阵。

线性空间，对偶空间，张量积

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张量的作用在于表达线性映射关系：

假如我们想定义一个从向量到数量的关系，这种关系如下：

输入任意向量 ${\vec n}=(n_1,n_2,n_3)^T$ ，得到一个数量 $m$ ，而 $m=n_1+2n_2-n_3$ 。

那么问题来了，怎样表达这种关系呢？
这当然难不住大家，这种映射关系容易表示为：
$m=(1,2,-1){\vec n}$
这里我们用到了一个行向量 $(1,2,-1)$ 来表达这种映射关系，这个行向量实质上就是一个1阶张量。它之所以被称为张量，在于它表达了一种映射关系，但更重要的是，这种关系是一种线性关系。
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那么问题又来了，究竟什么样的关系是线性关系呢？
这里给一个简单的解释（可能不是很严格）帮助大家理解。线性其实包含两个含义：
1.齐性。
接着上面的例子，我们把张量记为 $\bm a$ ，那么映射关系可记为 $m={\bm a}{\vec n}$ 。
齐性的含义是：
对任意实数 $\lambda$ ，若有 $m={\bm a}{\vec n}$ ，则有： $\lambda m={\bm a}(\lambda {\vec n})$ 。
那么就可以说 $\bm a$ 这种映射关系满足齐性。
2.加性。
加性的含义是：
若有 $m_1={\bm a}{\vec n_1}$ ， $m_2={\bm a}{\vec n_2}$ ，则有： $m_1+m_2={\bm a}({\vec n_1}+{\vec n_2})$ 。
那么就可以说 $\bm a$ 这种映射关系满足加性。
同时满足齐性和加性的映射关系就可称为线性映射关系。

类比从向量到数量的映射关系，下面我们想表达一种从向量到向量的映射关系，这种映射关系如下：

输入任意向量 ${\vec n}=(n_1,n_2,n_3)^T$ ，得到向量 ${\vec l}=(n_1+n_2,n_2+n_3,n_3+n_1)^T$ ，容易想到采用矩阵表达这种映射关系，如：
${\vec l} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} {\vec n}$ .
容易发现，此处矩阵表示的映射关系也是线性映射，事实上也就是2阶张量。

再进一步，假如我们想获得一种从矩阵到向量的映射，比如：

输入任意的矩阵：
$\left[ a_{ij} \right] =\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$ ，
输出向量：
$\vec n =(a_{11}+2a_{12}-a_{13},a_{21}+a_{22}+a_{23},a_{31}+a_{32}+a_{33})$ 。
这种映射关系似乎与上面两种一脉相承，但是，似乎矩阵也不足以表达其中的映射关系了。这时候，3阶张量就要隆重登场了~~~
你似乎也感觉到问题的复杂性了，高阶（高于2阶）张量的出现需要引入新的表示方法和运算规则，目前最为常用的就是指标记法和Einstein求和约定了。这里不再赘述了。
引入指标记法以后，这种映射关系就容易表达为：
$n_k=c_{ijk}a_{ij}$
其中，3阶张量 $c_{ijk}$ 就表达了这种线性映射关系，其含义容易理解为矩阵元素 $a_{ij}$ 在向量第 $k$ 分量 $n_k$ 的系数。
例如，由 $n_1=a_{11}+2a_{12}-a_{13}$ ，可知 $c_{111}=1,c_{121}=2,c_{131}=-1$ ，而 $c_{211}=c_{221}=c_{231}=c_{311}=c_{321}=c_{331}=0$ 。

有了前面的铺垫，不难理解更高阶次的张量，例如：
从矩阵到矩阵的线性映射可以用4阶张量表示，
从3阶张量到矩阵的线性映射可以用5阶张量表示。

虽然张量可以用分量的多维数组来表示，张量理论存在的意义在于进一步说明把一个数量称为张量的涵义，而不仅仅是说它需要一定数量的有指标索引的分量。特别是，在坐标转换时，张量的分量值遵守一定的变换法则。

p.s.
以上涉及的张量，主要用于定义线性映射关系。在直角坐标系之间的变换中，其可以被直观地赋予几何变换的含义。而在曲线坐标系和斜交坐标系下，这种变换可认为属于微分几何的研究范畴，所谓协变、逆变的概念都是在这种背景下引入的，由于本人涉及较少，这里避而不谈。

除此之外，张量本身也可以被赋予物理意义，如应力应变张量。这种依据物理意义定义的张量一般不超过2阶，也比较容易理解。值得注意的是，这种具有物理意义的张量（包括矢量）是客观的，不依赖与坐标系的。但其数学表达（也就是坐标）却强烈地依赖于坐标系，坐标系基底的引入可以用于描述这种对于坐标系的依赖。

比如，假设直角空间坐标系的一组标准正交基 $\bm{{\vec e_1},{\vec e_2},{\vec e_3}}$ ：
黑体表示张量，带下标非粗体表示坐标表示，则有：
对于位移矢量: ${\bm u}=u_i{\bm{\vec e_i}}$
对于应力张量: ${\bm \sigma}=\sigma_{ij}{\bm{\vec e_i}}\otimes {\bm{\vec e_j}}$ .
坐标变换时，基底改变会导致坐标表示的变化，但张量本身保持不变。

（链接：https://www.zhihu.com/question/20695804/answer/38936600）
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