图之从一个顶点到其余各个顶点的最短路径（有向图）

目录

1. 从一个顶点到其余各个顶点最短路径的简介
2. 举例以及详细分析
3. 代码块
4. 测试结果

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从一个顶点到其余各个顶点最短路径的简介（又名单元最短路径）

1.定义概览

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。

问题描述：在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。（单源最短路径）

算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

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举例以及详细分析

a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则(u,v)正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则(u,v)权值为∞。

b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。

c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

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首先先定义三个辅助数组：
int s[MAX]用来表示这个顶点是否加入了最短距离路径。
int dist[MAX]用来表示起始点到这个顶点的最短路径是多少。
int path[MAX]用来表示这个顶点的上一个顶点是什么，即表示的是路径。

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初始化时 假设其实点是v
s[MAX]存放的都是0，表示还未有顶点加入最短路径。dist[MAX]存放的是起始点与其邻接点的最短距离即g->edges[v][j]，不是起始点的邻接点的顶点用∞表示。path[MAX]存放的也都是v，表示都是从起始点v开始的,如果顶点与起始点没有直接联系则用-1表示。
又因为起始点为v,所以初始化的最后s[v]=1，path[v]=0;

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之后在dist[]中找到（dist[i]最小的并且s[i]==0)的顶点，作为最短路径的下一个顶点(下标为u)，并将其s[u]变为1。
找到下一个顶点后，图的最短路径可能发生了相应的变化；将新顶点与其他s[i]！=0的顶点进行联立，寻找他们之间的最小路径并改变其相应的path[],dist[]的值。

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在最后的输出函数中必须严格遵守递归规则

红圈中的顺序不能颠倒否则输出的数值中

划线部分会输出逆序（请自行体会）；

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代码块

#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#define MAXV 100#define LIMITLESS 9999typedef struct{    int no;  //顶点编号     int info; //顶点其他信息 } VertexType;typedef struct{    int n;    int e;//定点数，边数     int edges[MAXV][MAXV];//邻接矩阵的数组表现    VertexType vexs[MAXV]; //顶点信息 }MGraph;void creat(MGraph *G){    int i, j, k, w;    int start, end;    printf("请输入顶点数和边数:\n");    scanf("%d%d", &(G->n), &(G->e));    getchar();    printf("请输入顶点信息:\n");    for (i = 0; i<G->n; i++)    {        scanf("%d%d", &(G->vexs[i].no), &(G->vexs[i].info));    }    for (i = 0; i<G->n; i++)    {        for (j = 0; j<G->n; j++)        {            if (i == j)            {                G->edges[i][j] = 0;            }            else            {                G->edges[i][j] = LIMITLESS;            }        }    }    printf("请输入 图的顶点 边和它的权值:\n");    for (k = 0; k<G->e; k++)    {        scanf("%d%d%d", &start, &end, &w);        G->edges[start][end] = w;    }}void print(MGraph *G){    int i, j;    printf("顶点数：%d, 边数：%d\n", G->n, G->e);    printf("%d个顶点的信息：\n", G->n);    for (i = 0; i<G->n; i++)    {        printf("%5d%5d", G->vexs[i].no, G->vexs[i].info);    }    printf("\n各个顶点的连接情况：\n");    printf("\t");    for (i = 0; i<G->n; i++)    {        printf("[%d]\t", i);    }    printf("\n");    for (i = 0; i<G->n; i++)    {        printf("[%d]\t", i);        for (j = 0; j<G->n; j++)        {            if (G->edges[i][j] == LIMITLESS)            {                printf("oo\t");            }            else            {                printf("%d\t", G->edges[i][j]);            }        }        printf("\n");    }}void Ppath(int path[], int i, int v) //前向递归查找路径上的顶点{    int k;    k = path[i];    if (k == v)    {        return;    }    Ppath(path, k, v);    printf("%d", k);}void Dispath(int dist[], int path[], int s[], int n, int v){    int i;    for (i = 0; i < n; i++)    {        if (s[i] == 1)        {            printf("从%d到%d的最短路径长度为:%d\t路径为:", v, i, dist[i]);            printf("%d", v);//输出路径上的起点            Ppath(path, i, v); //输出路径上的中间点            printf("%d\n", i);//输出路径上的终点        }        else        {            printf("从%d到%d不存在路径\n", v, i);        }    }}void Dijkstra(MGraph *g, int v){    int mindis, i, j, u;    int s[MAXV]; //表示这个顶点是否存入最短路线中    int dist[MAXV];//表示起始点到此顶点的距离    int path[MAXV];//表示此点的上一步是哪一个顶点    for (i = 0; i < g->n; i++)    {        s[i] = 0;        dist[i] = g->edges[v][i];        if (g->edges[v][i] < LIMITLESS)        {            path[i] = v;        }        else        {            path[i] = -1;        }    }    s[v] = 1;    path[v] = 0;    for (i = 0; i < g->n; i++)    {        mindis = LIMITLESS;//mindis置最小长度初值        for (j = 0; j < g->n; j++) //选取不在s中且具有最小距离的顶点u        {            if (s[j] == 0 && dist[j] <mindis)            {                mindis = dist[j];                u = j;            }        }        s[u] = 1;        for (j = 0; j < g->n; j++)        {            if (s[j] == 0)            {                if (g->edges[u][j] < LIMITLESS&&dist[u] + g->edges[u][j] < dist[j])                {                    dist[j] = dist[u] + g->edges[u][j];                    path[j] = u;                }            }        }    }    Dispath(dist, path, s, g->n, v);}int main(void){    MGraph *g;    g = malloc(sizeof(MGraph));    creat(g);    print(g);    Dijkstra(g, 0);    system("pause");    return 0;}

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测试结果

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参考图纸：