梯度下降算法总结

机器学习中，求解的问题常常变为最优化问题，求解最优化问题，常常使用梯度下降法。梯度下降法的最基本原理是向着最优化点不断靠近。假设最终的Loss函数为

J(θ)=1N∑i=1N(hθ(xi)−yi)

那么梯度下降的基本形式为

θn+1=θn−αJ′(θ)

在实践中，根据具体问题，有演变出以下几种

基本梯度下降法

基本梯度下降法，是指在每一次更新参数时，都是通过减去学习率×梯度

这里的梯度通常是指整个训练样本求得的损失函数的梯度，在实践中，每次求得整个训练样本的梯度并不现实，因此有分为随机梯度下降和批梯度下降。

随机梯度下降

随机梯度下降，是指：每次随机抽取一个样本->求得损失函数->计算梯度->执行梯度下降算法。

这里计算的损失函数为一个样本的损失函数

J(θ)=hθ(xi)−yi

随机梯度下降法中，噪声比较多，每一步参数更新，不一定是向着最优方向；因此损失函数并不是计算全局最优，样本并不纯净等。

批梯度下降法

随机梯度下降法，每次求得的梯度噪声太大，参数更新许多迭代次数太多。因此有了梯度下降法和随机梯度下降法的折中：批梯度下降法。

批梯度下降法，是每次求得一批样本的损失函数->求梯度->更新参数。

一次样本求梯度，一定程度上减小了噪声；计算量也不至于太大。在实践中常常使用批梯度下降法。

Momentum梯度下降法

通过优化参数找到损失函数最小值，可以看做小球在山上滚动，找到山谷。参数随机初始化，可以看做小球从这个位置以起始速度为0，开始滚动。损失函数的梯度，可以看过施加给小球的力，通过力有了速度，通过速度改变位置。由力学定律F=m×a，梯度与加速度成正比，加速度改变速度，因此可以得到以下更新过程：

v=μ∗v−αJ′(θ)θn+1=θn+v

μ是动量系数，即一个方向的速度并不是立刻改变，而是速度通过积累一点点改变，μ值得大小，可以通过trian-and-error来确定，实践中常常设为0.9。

动量法，原理在于一个方向的速度可以积累，而且越积累越大；通过不同训练样本求得梯度时，在最优的方向的梯度，始终都会增大最优方向上的速度。因此，可以减少许多震荡。

Nesterov Momentum梯度下降法

Nesterov Momentum梯度下降法是对Momentum梯度下降法的一个改进。在Momentum梯度下降法中，已经求出了μ∗v，那么可以再“向前看一步”，不是求解当前位置的梯度，而是求解θ+μ∗v处的梯度。这个位置虽然不正确，但是要优于当前位置θ

v=μ∗v−αJ′(θn+μ∗v)θn+1=θn+v

AdaGrad

学习率在梯度下降法中，十分重要，但是所有参数都是用同一个学习率未必合适。例如，有些参数可能已经接近最优，仅仅需要微调，需要比较小的学习率；而有些参数还需要大幅度调动。在这种场景下，AdaGrad，来自适应不同的学习率。

AdaGrad原理也比较简单，它通过记录之前更新每一步更新值的平方，将这些参数累加，以此来调节每一步的学习率。

G=G+J′(θn)2θn+1=θn−αG+ϵ−−−−−√⋅J′(θn)

如果梯度比较大，它会不断减小学习率；相反，则会增大。

缺点是，随着训练进行，学习率会不断减小，最终参数不再更新。

RMSprop

RMSprop是为了解决AdaGrad法中，梯度不断减小问题的。方法很简单，通过设置当前梯度和历史梯度比例，例如

G=γG+(1−γ)J′(θ)2θn+1=θn−αG+ϵ−−−−−√⋅J′(θn)

AdaDelta

AdaDelta也是为了解决Adagrad中，学习率不断减小问题的。与Adagrad不同的是，AdaDelta通过设置窗口w，只是用部分时间段内累计的梯度。

存储前w个梯度

E[J′(θ)2]t=γE[J′(θ)]t−1+(1−γ)J′(θ)2tθn+1=θn+αE[J′(θ)2]t−−−−−−−−√+ϵ⋅J′(θ)

Adam

Adam考虑了梯度以及梯度的平方，具有AdaGrad和AdaDelta的优点。Adam根据梯度的一阶估计和二阶估计，动态调整学习率。

m=β1×m+(1−β1)J′(θ)v=β2×v+(1−β2)J′(θ)2θn+1=θn−αnv+ϵ−−−−√

推荐的超参数为ϵ=1e−6,β1=0.9,β2=0.999