算法笔记之动态规划（DP）

动态规划（Dynamic programming）

动态规划 是解决 多阶段决策问题 的一种有效的算法设计方法，所谓的多阶段决策问题， 即 它们的活动过程可以分为若干个阶段，且任一个阶段后的行为都仅依赖于 i 阶段的状态，而与 i 之前的状态无关。

动态规划试用于两种问题，最优子结构和无后效性。
最优子结构 指的是 某个阶段的最优状态可以从之前的 某个阶段的 某个或某些状态直接得到，
无后效性 指的是 而 不用关心这些状态是怎么得来的。
也就是说， 动态规划 适用的问题 就是 某个阶段的最优状态可以从之前的 某个阶段的 某个或某些状态直接得到，而不用关心这些状态是怎么得来的。

动态规划 主要依赖于状态转移方程， 所以 ，通常这一类问题，人脑可以通过枚举的方式得到答案，但是 写成代码，需要考虑好当下的状态都依赖于哪些状态 。

最近在Leetcode上遇到很多DP的题，来个例子先（例子来自leetcode）。
1. Coin Change 2
You are given coins of different denominations and a total amount of money. Write a function to compute the number of combinations that make up that amount. You may assume that you have infinite number of each kind of coin.

Note: You can assume that

0 <= amount <= 50001 <= coin <= 5000the number of coins is less than 500the answer is guaranteed to fit into signed 32-bit integer 

Example 1:

Input: amount = 5, coins = [1, 2, 5]
Output: 4
Explanation: there are four ways to make up the amount:
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1

solution :

class Solution(object):    def change(self, amount, coins):        """        :type amount: int        :type coins: List[int]        :rtype: int        """        dp = [1]+[0]*amount        for c in coins :            for i in xrange(1, amount+1):                if i >= c:                    dp[i] += dp[i-c]        return dp[amount]

这是我在discuss区看到的一个写法简练的DP代码，值得学习。他把状态转移矩阵 dp 最开始初始全为0 ，然后每一步的状态都依赖于当前数减去c的状态，找到了这个规律，代码写起来自然流畅。最后，只需要取第amount个状态即可。

Reference

1. 计算机算法基础（第3版） ，余翔宣
2. http://www.math1as.com/index.php/archives/115/?utm_source=tuicool&utm_medium=referral
3. https://discuss.leetcode.com/topic/78958/python-o-n-space-dp-solution