动态规划整理

动态规划的基本思想：用一个表来记录所有已解决的子问题的答案。适用于解最优化问题，且是自底向上的。
1.分解最优结构
得到最优解的前提是子问题也是最优解
2.建立递归关系
3.计算最优值

记忆化搜索：记录下来，如果已经计算过就不再计算
uva674
题意：有1,5,10,25,50五种硬币，给出一个数字，问又几种凑钱的方式能凑出这个数。

#include<cstdio>#include<iostream>#include<algorithm>#include<cstring>using namespace std;const int maxn = 8000;const int coin[5] = {1,5,10,25,50};int n;long long dp[maxn][5];long long solve(int i, int s) {    int j;    if(dp[s][i] != -1) return dp[s][i];    dp[s][i] = 0;    for(j=i; j<5&&s>=coin[j]; j++) {        dp[s][i] += solve(j,s-coin[j]);    }    return dp[s][i];}int main() {    int i;    memset(dp, -1, sizeof(dp));    for(i=0; i<5; i++) dp[0][i]=1;//0的时候实际上是花了一个硬币，所以是1    while(scanf("%d", &n) != EOF) {        printf("%lld\n", solve(0,n));    }    return 0;}

可以看出来记忆化搜索是自顶向下的
这题同样可以递推解决（自底向上）

#include<cstdio>#include<iostream>#include<cstring>using namespace std;const int maxn = 8000;int n, coin[5]={1,5,10,25,50};long long dp[maxn] = {1};int main() {    int i, j;    for(i=0; i<5; i++)        for(j=0; j<maxn-100; j++) {            dp[j+coin[i]] += dp[j];        }    while(scanf("%d", &n) != EOF) {        printf("%lld\n",dp[n]);    }    return 0;}

段最大和问题
uva507
题目大意：
Jill喜欢骑自行车，但是自从他的城市有了公交系统后，他就比较少骑车了，于是他买了一个折叠自行车，这样他就可以把自行车带到公交车上，当他下车后，他就可以继续骑车。
现在b条道路，每条道路有n个公交站点，两个站点间都有一个喜欢值，现在问你能否求出，哪两个站点间的喜欢值最大，如果有多个最大值，输出其中距离最远的站点。

#include<cstdio>#include<string>using namespace std;int s[20005];int snum;int main()  {    int n, i, kase=0;    scanf("%d", &n);    while(n--) {        kase++;        scanf("%d", &snum);        for(i=1; i<=snum-1; i++)            scanf("%d", &s[i]);        int st, l, r, sum, maxs;        st=l=r=1;        sum=maxs=0;        for(i=1; i<snum; i++) {            sum += s[i];            if(sum<0) {                sum=0;                st=i+1;            }            if(sum>maxs || (sum==maxs&&(i-st)>(r-l))) {                maxs=sum;                l=st;                r=i;            }        }        if(maxs <= 0) {            printf("Route %d has no nice parts\n", kase);        }        else {            printf("The nicest part of route %d is between stops %d and %d\n", kase, l, r+1);        }    }    return 0;}

二维最大和
UVA116：
给你一个n*m的数字表格，找到一条从左到右的路径，使得上面的数字和最小，可越界。
自底向下：从终点开始枚举起点，保证每个子问题都是最优解

#include<cstdio>#include<iostream>#include<algorithm>#include<cstring>#include<string>using namespace std;const int maxn = 105;const int INF = 0x3f3f3f3f;int map[15][maxn];int dp[15][maxn];const int dir[3][2]={{0,1},{1,1},{-1,1}};int n, m;int path[15][maxn];void print(int cur, int y) {    if(y != m-1) {        printf(" %d",path[cur][y]+1);        print(path[cur][y],y+1);    }}int Dp(int x, int y) {    int i;    if(y>=m) return dp[x][y]=0;    if(dp[x][y] != INF) return dp[x][y];    int a, b;    a = x+dir[0][0];    b = y+dir[0][1];    if(a == -1) a=n-1;    if(a == n) a=0;    dp[x][y] = Dp(a,b)+map[x][y];    path[x][y] = a;    int temp = INF;    for(i=1; i<3; i++) {        a=x+dir[i][0];        b=y+dir[i][1];        if(a == -1) a=n-1;        if(a == n) a=0;        temp = Dp(a,b)+map[x][y];        if(temp == dp[x][y]) {            path[x][y] = path[x][y]<a?path[x][y]:a;        }        else if(temp < dp[x][y]) {            dp[x][y] = temp;            path[x][y] = a;        }    }    return dp[x][y];}int main() {    int i, j;    while(scanf("%d%d", &n, &m) != EOF) {        for(i=0; i<n; i++)            for(j=0; j<m; j++) {                scanf("%d", &map[i][j]);            }        for(i=0; i<=n; i++)            for(j=0; j<=m; j++) {                dp[i][j]=INF;                path[i][j]=n;            }        int ans = INF;        int temp, r;        for(i=n-1; i>=0; i--) {            temp=Dp(i,0);            if(temp <= ans) {                ans = temp;                r=i;            }        }        printf("%d", r+1);        print(r,0);        printf("\n%d\n", ans);    }    return 0;}

区间DP，矩阵连乘问题
题目：矩阵连乘，求最小运算次数，输出运算优先级（用括号给出）。

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<cstdio>using namespace std;const int maxn = 15;const int INF = 0x7fffffff;int x[maxn],y[maxn];int d[maxn][maxn], r[maxn][maxn];int dp(int a, int b) {    if(d[a][b]!=-1) return d[a][b];    r[a][b]=a;    int t,i;    if(a==b) return d[a][b]=0;    d[a][b] = INF;    for(i=a; i<b; i++) {        t=dp(a,i)+dp(i+1,b)+x[a]*y[i]*y[b];        if(t<d[a][b]) {            d[a][b]=t;            r[a][b]=i;        }    }    return d[a][b];}void print(int a,int b){    if(a>b) return;    if(a==b) printf("A%d",a+1);    else{        printf("(");        print(a,r[a][b]);        printf(" x ");        print(r[a][b]+1,b);        printf(")");    }}int main() {    int n,cas=0,i;    while(scanf("%d", &n) && n) {        memset(d, -1, sizeof(d));        for(i=0; i<n; i++)            scanf("%d%d", &x[i],&y[i]);        dp(0,n-1);        printf("Case %d: ", ++cas);          print(0,n-1);        puts("");    }    return 0;}

最长子序列：
UVA10405：求第二串相对于第一串的最长序列长度（模板题）（递推：有起点终点）

#include<cstdio>#include<iostream>#include<algorithm>#include<cstring>#include<string>using namespace std;const int maxn = 1005;string s1,s2;int f[maxn][maxn];int main() {    int i,j;    while(getline(cin,s1)) {        getline(cin,s2);        memset(f,0,sizeof(f));        for(i=1; i<=s1.size(); i++)            for(j=1; j<=s2.size(); j++) {                if(s1[i-1]==s2[j-1]) {                    f[i][j]=f[i][j]>(f[i-1][j-1]+1)?f[i][j]:f[i-1][j-1]+1;                }                else {                    f[i][j] = f[i-1][j]>f[i][j-1]?f[i-1][j]:f[i][j-1];                }            }        printf("%d\n",f[s1.size()][s2.size()]);    }}

这题用scanf过不了，逻辑是一样的，就是输入改成scanf,对应的是字符串数组不是string，就是过不了，不知道为什么

UVA531
题意：找出两段话连续最长的单词组
主要学习如何输出，就是把I,J用计算方法记录下来，然后的话所有被跳过的单词都是这个值，也就是说，这个算出来的IJ减一的话是上一个找到的单词的位置

#include<cstdio>#include<iostream>#include<algorithm>#include<cstring>#include<string>using namespace std;char w1[105][32];char w2[105][32];int dp[105][105];int f[105][105];int num1, num2;void print(int s, int flag) {    int a=s/1000;    int b=s%1000;    if(a && b) {        print(f[a-1][b-1], 1);        printf("%s", w1[a-1]);        if(flag) printf(" ");    }}int main() {    int i,j;    while(cin>>w1[0]) {        num1=1,num2=0;        if(strcmp(w1[0],"#")) {            while(cin>>w1[num1] && strcmp(w1[num1],"#")) {                num1++;            }        }        else num1=0;        while(cin>>w2[num2] && strcmp(w2[num2],"#")) {            num2++;        }        memset(dp, 0, sizeof(dp));        memset(f, 0, sizeof(f));        for(i=1; i<=num1; i++)            for(j=1; j<=num2; j++) {                if(strcmp(w1[i-1],w2[j-1])==0) {                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1;                    f[i][j] = i*1000+j;                }                else if(dp[i-1][j]<dp[i][j-1]) {                    dp[i][j] = dp[i][j-1];                    f[i][j] = f[i][j-1];                }                else {                    dp[i][j] = dp[i-1][j];                    f[i][j] = f[i-1][j];                }            }            if(f[num1][num2]) {                print(f[num1][num2],0);            }            printf("\n");    }    return 0;}

DAG最长路

UVA10131
题意：一群大象，每头大象有两个属性1：体重 2：IQ，现在从这些大象里挑出大象来排队，队伍有两个要求，每一头大象的体重必须比前一头大，IQ必须比前一头小，求此队伍的最长长度，并列出队伍中大象的序号，序号按照输入给的顺序，序号从1开始
这题相对上一题有更多的限制条件，道理是一样的，用的记忆化搜索（没有起点和终点）

#include<cstdio>#include<iostream>#include<algorithm>#include<cstring>using namespace std;const int maxn = 1005;struct node {    int w;    int v;}e[maxn];int f[maxn];int path[maxn];int num;int ans;int dp(int cur) {    if(f[cur]) return f[cur];    int a;    for(int i=0; i<num; i++)        if(e[i].w > e[cur].w && e[i].v<e[cur].v) {            a = dp(i)+1;            if(f[cur] <= a) {                f[cur] = a;                path[cur] = i;            }        }    return f[cur];}int main() {    int a, b;    num = 0;        while(scanf("%d%d", &a, &b)!=EOF) {        e[num].w = a;        e[num].v = b;        num++;    }    for(int i=0; i<num; i++) {        path[i] = i;    }    ans = 0;    int flag;    for(int i=0; i<num; i++) {        if(!f[i])             dp(i);        if(ans < f[i]) {            ans = f[i];            flag = i;        }    }    printf("%d\n", ans+1);    int i;    for(i=flag; path[i]!=i; i=path[i]) {        printf("%d\n", i+1);    }    printf("%d\n", i+1);    return 0;}

uva437
题目:
有n种长宽高为x,y,z的砖头，每种都有无数个。
砖头可以用不同姿势的方向来盖。
砖头a以某种姿势可以盖在砖头b上，当且仅当a的底部的长宽都要比b的底部长宽要小。
问最高可以建多高？
思路和上一题一样的，满足条件的进行递归，记忆化搜索，就是要懂得转化为普通的问题，也就是暴利思想，把所有情况都存储起来
代码：

#include<cstdio>#include<cstring>#include<string>#include<iostream>using namespace std;struct stone{    int x, y, z;}s[35*3];int m[35*3][35*3];int h, ans;int dp[300];bool check(int i, int j) {    if((s[i].x < s[j].x && s[i].y < s[j].y) || (s[i].x < s[j].y && s[i].y < s[j].x)) return true;    return false;}int dfs(int cur) {    if(dp[cur] != -1) {//      printf("%d\n", dp[cur]);        return dp[cur];    }    dp[cur] = s[cur].z;    for(int i=0; i<h; i++)        if(m[cur][i]) dp[cur] = max(dp[cur], dfs(i)+s[cur].z);//  printf("%d\n", dp[cur]);    return dp[cur];}int main() {    int n, i, j, kase=0;    while(scanf("%d", &n) && n) {        int x, y, z;        kase++;        h = 0;        for(i=1; i<=n; i++) {            scanf("%d %d %d",&x, &y, &z);            s[h].x = x, s[h].y = y, s[h].z = z;            h++;            s[h].x = x, s[h].y = z, s[h].z = y;            h++;            s[h].x = y, s[h].y = z, s[h].z = x;            h++;        }        memset(m, 0, sizeof(m));        for(i=0; i<h; i++)            for(j=i+1; j<h; j++) {                if(check(i, j)) {                    m[i][j] = 1;                }                if(check(j, i)) {                    m[j][i] = 1;                }            }        memset(dp, -1, sizeof(dp));        ans = 0;        for(i=0; i<h; i++)            ans = max(ans, dfs(i));        printf("Case %d: maximum height = %d\n", kase, ans);    }    return 0;}

背包问题：
0-1背包
uva562,把硬币分成两堆，两堆的差值尽量小
思路：
就是把总值/2，然后尽量靠近这个值，每个硬币只能用一次，所以是0-1背包

#include<cstdio>#include<cstring>#include<string>#include<algorithm>using namespace std;const int maxn = 105;int coin[maxn];int d[maxn][maxn*500];int main() {    int t,i,j;    int num;    int ssum;    scanf("%d", &t);    while(t--) {        ssum=0;        memset(d,0,sizeof(d));        memset(coin,0,sizeof(coin));        scanf("%d",&num);        for(i=1;i<=num;i++) {            scanf("%d",&coin[i]);            ssum+=coin[i];        }        int sum = ssum/2;        for(i=1; i<=num; i++) {            for(j=0; j<=sum; j++) {                d[i][j]=d[i-1][j];                if(j>=coin[i]) {                    d[i][j]=d[i][j]>(d[i-1][j-coin[i]]+coin[i])?d[i][j]:(d[i-1][j-coin[i]]+coin[i]);                }            }        }        printf("%d\n",ssum - d[num][sum] - d[num][sum]);      }    return 0;}

完全背包
uva357，类似于uva674

#include<cstdio>#include<string>#include<cstring>using namespace std;long long count[32002];int table[5] = {1, 5, 10, 25, 50};long long dp(int n) {    count[0] = 1;    int i, j;    for(i=0; i<5; i++)        for(j=table[i]; j<=n; j++)            count[j] += count[j-table[i]];    return count[n];}int main() {    int n;      while(scanf("%d", &n)!=EOF) {        memset(count, 0, sizeof(count));        long long ans = 0;        ans = dp(n);        if(ans > 1)            printf("There are %lld ways to produce %d cents change.\n", ans, n);        else if(ans == 1)             printf("There is only 1 way to produce %d cents change.\n", n);    }    return 0;}

uva624(0-1背包)
题目：
给不一组数，以及一个目标值，选出相加后最接近这个值得数，每个数用1次

#include<cstdio>#include<iostream>#include<algorithm>#include<cstring>#include<string>using namespace std;int n,tn;const int maxn = 10005;int t[25];int dp[maxn];int path[25][maxn];int main() {    int i,j;    while(scanf("%d", &n) != EOF) {        scanf("%d", &tn);        for(i=0; i<tn; i++) {            scanf("%d", &t[i]);        }        memset(dp, 0, sizeof(dp));        memset(path, 0, sizeof(path));        int flag;        for(i=0; i<tn; i++)            for(j=n; j>=t[i]; j--) {                if(dp[j]<dp[j-t[i]]+t[i]) {                    dp[j] = dp[j-t[i]]+t[i];                     path[i][j] = 1;                }            }            for(i=tn, j=n; i>=0; i--) {                if(path[i][j]) {                    printf("%d ",t[i]);                    j -= t[i];                }            }        printf("sum:%d\n", dp[n]);    }    return 0;}

uva10465
完全背包，两种汉堡，各有耗时，求在浪费时间最少的情况下吃的汉堡最多
由于必须是从头开始连续的，所以dp要清成负数，保证并不会有没吃汉堡的时间里与之前吃了汉堡的时间一样的情况

#include<cstdio>#include<iostream>#include<algorithm>#include<cstring>#include<string>using namespace std;int dp[10005];int main() {    int m, n, t, i, j;    while(scanf("%d%d%d", &n, &m, &t) != EOF) {        memset(dp, -10001, sizeof(dp));        dp[0]=0;        for(i=m; i<=t; i++) {            if(dp[i]<dp[i-m]+1) {                dp[i] = dp[i-m]+1;            }        }        for(i=n; i<=t; i++) {            if(dp[i]<dp[i-n]+1)                dp[i]=dp[i-n]+1;        }        int f = t;        while(dp[f]<0) f--;        if(f==t)        printf("%d\n", dp[t]);        else {            printf("%d %d\n", dp[f],t-f);        }    }    return 0;}

题目大意：求将n写成若干个正整数的立方和的方法数
这道题的启发是组合问题可以转化为硬币问题

#include<cstdio>#include<iostream>#include<cstring>#include<string>using namespace std;int cube[25];long long dp[10005];int main() {    int n, i,j;    for(i=1; i<=21; i++) cube[i]=i*i*i;    memset(dp, 0, sizeof(dp));    dp[0]=1;    for(i=1; i<=21; i++)        for(j=cube[i]; j<10000; j++)            dp[j] += dp[j-cube[i]];    while(scanf("%d",&n)!=EOF) printf("%lld\n",dp[n]);    return 0;}

制造回文

题意：给出一个字符串，可以添加删除字符，或替换字符，求把它变成回文的最少操作次数。

递推

#include <cstdio>  #include <cstring>  #define min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))  const int MAXN = 1010;  int dp[MAXN][MAXN];  char ch[MAXN];  int t, cas;  int main() {    int i, j, k;    scanf("%d", &t);    for(cas=1; cas<=t; cas++) {        scanf("%s", ch);        int len=strlen(ch);        for(i=0; i<len; i++) dp[i][i]=0;        for(i=len-1; i>=0; i--)            for(j=i+1; j<len; j++)                if(ch[i]==ch[j])                     dp[i][j]=dp[i+1][j-1];                else                     dp[i][j]=min(dp[i+1][j],min(dp[i+1][j-1],dp[i][j-1]))+1;        printf("Case %d: %d\n", cas, dp[0][len - 1]);      }      return 0;  }  

uva10453
给一个字符串，要求添加最少个字符，把它变成回文串，并输出。
记忆化搜索

#include<cstdio>#include<iostream>#include<cstring>#include<string>#include<algorithm>using namespace std;int vis[1005][1005];char str[1005];const int inf = 0x7fffffff;int dp(int x, int y) {    if(vis[x][y] != inf) return vis[x][y];    if(x>=y) {        vis[x][y]=0;        return vis[x][y];    }    if(str[x]==str[y]) vis[x][y] = dp(x+1, y-1);    else vis[x][y] = min(dp(x+1, y), dp(x,y-1))+1;    return vis[x][y];}void output(int l, int r) {    if(l>r) return;    if(l==r) {        putchar(str[l]);        return;    }    if(str[l]==str[r]){        putchar(str[l]);        output(l+1,r-1);        putchar(str[r]);    }    else if(vis[l][r] == vis[l+1][r]+1) {        putchar(str[l]);        output(l+1,r);        putchar(str[l]);    }    else {        putchar(str[r]);        output(l,r-1);        putchar(str[r]);    }}int main() {    int n, i, j;    while(scanf("%s", str+1) != EOF) {        int len = strlen(str+1);        for(i=1; i<=len; i++)            for(j=1; j<=len; j++)                vis[i][j]=inf;        int a = dp(1,len);        printf("%d", a);        output(1,len);        printf("\n");    }}