最长公共子序列问题（Longest common subsequence，LCS）

参考屈婉玲的youtube视频：https://www.youtube.com/watch?v=zkCHuCCoQEY

参考：《算法导论》P390页15.4 Longest common subsequence

问题描述：序列X={x1,x2,…,xn}，Y={y1,y2,…,yn}，当Z={z1,z2…,zn}是X的严格递增下标顺序（可以不连续）的子集，也是Y的严格递增下标顺序（可以不连续）的子集，则Z是X和Y的公共子序列。例如X={A,B,C,B,D,A,B}，Y={B,D,C,A,B,A}，{B,C,A}、{B,C,B,A}、{B,D,A,B}都是X和Y的公共子序列。其中最长的公共子序列叫做Longest common subsequence，即经典的LCS。

  具体点：char[]xArray和char[] yArray是字符数组，长度分别为m、n，求他们的LCS

【分析】自顶向下分析，二维数组cTable[i][j]记录xArray[0~i],yArray[0~j]的最长公共子序列的长度，则cTable[m][n]记录xArray[0~m],yArray[0~n]的最长公共子序列的长度。

1）   如果xArray[m]=yArray[n]，表明最后一个元素xArray[m]是LCS中的元素，xArray[0~m],yArray[0~n]的最长公共子序列=xArray[0~m-1],yArray[0~n-1]的最长公共子序列+1，即cTable[m][n]=cTable[m-1][n-1]。

2）   如果xArray[m]!=yArray[n]，表明xArray[m]、yArray[n]都有可能是LCS中的元素，但不能同时是。如果xArray[m]可能是，则xArray[0~m],yArray[0~n]的最长公共子序列=xArray[0~m],yArray[0~n-1]的最长公共子序列；如果yArray[n]可能是，则xArray[0~m],yArray[0~n]的最长公共子序列=xArray[0~m-1],yArray[0~n]的最长公共子序列。即cTable[m][n]=max(cTable[m-1][n], cTable[m][n-1])。

状态递归方程为：

参考《算法导论》P394页伪代码，java实现如下：

[java] view plain copy

1. /**   
2.      * 创建时间：2014年9月3日 下午9:00:13   
3.      * 项目名称：Test   
4.      * @author Cao Yanfeng  Peking University 
5.      * @since JDK 1.6.0_21   
6.      * 类说明：  最长公共子序列问题（Longest common subsequence,LCS） 
7.      */  
8.     public static void main(String[] args) {  
9.         // TODO 自动生成的方法存根  
10.         String x="ABCBDABCBACABC";  
11.         String y="BDCABACABABCB";  
12.         int temp=getLCSLength(x, y);  
13.         System.out.println("\n长度为："+temp);  
14.     }  
15.     public static int getLCSLength(String x,String y) {  
16.         char[] xArray=x.toCharArray();  
17.         char[] yArray=y.toCharArray();  
18.         int m=xArray.length;  
19.         int n=yArray.length;  
20.         int [][] bTable=new int[m][n];  
21.         /*cTable[i][j]记录xArray[0~i],yArray[0~j]的最长公共子序列的长度*/  
22.         int [][] cTable=new int[m+1][n+1];  
23.         for (int i = 0; i <m; i++) {  
24.             for (int j = 0; j < n; j++) {  
25.                 if (xArray[i]==yArray[j]) {  
26.                     cTable[i+1][j+1]=cTable[i][j]+1;  
27.                     bTable[i][j]=2;//相等标记为2  
28.                 }else if (cTable[i][j+1]>=cTable[i+1][j]) {  
29.                     cTable[i+1][j+1]=cTable[i][j+1];  
30.                     bTable[i][j]=1;  
31.                 }else {  
32.                     cTable[i+1][j+1]=cTable[i+1][j];  
33.                     bTable[i][j]=3;  
34.                 }  
35.                   
36.             }  
37.               
38.         }  
39.         System.out.print("最大子数组为：");  
40.         printLCS(xArray, bTable, m-1,n-1);  
41.         return cTable[m][n];  
42.     }  
43.     /*输出最佳路径即最长公共子序列*/  
44.     public static void printLCS (char[] xArray,int[][] bTable,int i,int j) {  
45.         if (i==-1||j==-1) {  
46.             return;  
47.         }  
48.         if (bTable[i][j]==2) {  
49.             printLCS(xArray, bTable, i-1, j-1);  
50.             System.out.print(xArray[i]);  
51.         }else if (bTable[i][j]==1) {  
52.             printLCS(xArray, bTable, i-1, j);  
53.         }else {  
54.             printLCS(xArray, bTable, i, j-1);  
55.         }  
56.     }  
57.   
58. }  

*****************************************

控制台输出：

最大子数组为：BCBACBACB

长度为：9

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

或者以下写法

class Untitled {  public static void main(String[] args) {          // TODO 自动生成的方法存根          String x="ABCBDABCBACABC";          String y="BDCABACABABCB";          int temp=getLCSLength(x, y);          System.out.println("\n长度为："+temp);      }      public static int getLCSLength(String x,String y) {          char[] xArray=x.toCharArray();          char[] yArray=y.toCharArray();          int m=xArray.length;          int n=yArray.length;          int [][] bTable=new int[m][n];          /*cTable[i][j]记录xArray[0~i],yArray[0~j]的最长公共子序列的长度*/          int [][] cTable=new int[m+1][n+1];          for (int i = 0; i <=m; i++) {              for (int j = 0; j <=n; j++) {  if(i==0||j==0){   cTable[i][j]=0;}else{                if (xArray[i-1]==yArray[j-1]) {                      cTable[i][j]=cTable[i-1][j-1]+1;                      bTable[i-1][j-1]=2;//相等标记为2                  }else if (cTable[i-1][j]>=cTable[i][j-1]) {                      cTable[i][j]=cTable[i-1][j];                      bTable[i-1][j-1]=1;                  }else {                      cTable[i][j]=cTable[i][j-1];                      bTable[i-1][j-1]=3;                  }  }                              }                        }          System.out.print("最大子数组为：");          printLCS(xArray, bTable, m-1,n-1);          return cTable[m][n];      }      /*输出最佳路径即最长公共子序列*/      public static void printLCS (char[] xArray,int[][] bTable,int i,int j) {          if (i==-1||j==-1) {              return;          }          if (bTable[i][j]==2) {              printLCS(xArray, bTable, i-1, j-1);              System.out.print(xArray[i]);          }else if (bTable[i][j]==1) {              printLCS(xArray, bTable, i-1, j);          }else {              printLCS(xArray, bTable, i, j-1);          }      }    }  

通过java在线运行环境http://run.jser.com/java.html

执行结果

最大子数组为：BCBACBACB
长度为：9

执行时间：2.04秒

如果只要求最长公共子序列的长度应该怎么求呢？

参考http://www.cnblogs.com/yuzhangcmu/p/4199531.html

cTable[m][n]记录xArray[0~m],yArray[0~n]的最长公共子序列的长度。

public class Solution {
    /**
     * @param A, B: Two strings.
     * @return: The length of longest common subsequence of A and B.
     */
    public int longestCommonSubsequence(String A, String B) {
        // write your code here
        if (A == null || B == null) {
            return 0;
        }
        
        int lenA = A.length();
        int lenB = B.length();
        int[][] D = new int[lenA + 1][lenB + 1];
        
        for (int i = 0; i <= lenA; i++) {
            for (int j = 0; j <= lenB; j++) {
                if (i == 0 || j == 0) {
                    D[i][j] = 0;
                } else {
                    if (A.charAt(i - 1) == B.charAt(j - 1)) {
                        D[i][j] = D[i - 1][j - 1] + 1;
                    } else {
                        D[i][j] = Math.max(D[i - 1][j], D[i][j - 1]);
                    }
                }
            }
        }
        
        return D[lenA][lenB];    //D[lenA][lenB]代表最长公共子序列的长度。
    }
}