完全背包

完全背包

        将01背包的问题进行一点变化，每件物品可以取任意多件，而非仅仅一件。就是说，我们有n种物品，每种物品i的重量为w[i],价值为v[i]。背包重量仍然为m，求解让背包内物品价值最大的方案。

问题的引入

    设有n种物品，每种物品有一个重量及一个价值。但每种物品的数量是无限的，同时有一个背包，最大载重量为M，今从n种物品中选取若干件(同一种物品可以多次选取)，使其重量的和小于等于M，而价值的和为最大。

【输入格式】    第一行：两个整数，M(背包容量，M<=200)和N(物品数量，N<=30)；    第2..N+1行：每行二个整数Wi,Ui，表示每个物品的重量和价值。【输出格式】    仅一行，一个数，表示最大总价值。【样例输入】    10 4    2  1    3  3    4  5    7  9【样例输出】　　12

【分析】
解法一：本问题的数学模型如下：
    设 dp[k]表示重量不超过k公斤的最大价值，则：

                dp[x] = max{dp(x-w[i]) + v[i]}  (当x>=w[i] ，1<=i<=n)

    怎么和0/1背包一模一样？其实，他们两个的思想是很相近的，区别就在状态转移方程的循环方式了。

C++语言描述如下：#include<iostream>using namespace std;int dp[201],w[10001],v[10001];int main(){    long m,n,i,j;    cin >> n >> m;    for(i=1;i<=n;i++) cin >> w[i] >> v[i];    dp[0]=0;    for(j=1;j<=m;j++)        for(i=1;i<=n;i++){             if(dp[j-w[i]]+v[i]>dp[j]) dp[j]=dp[j-w[i]]+v[i];    }  cout << d[m] << endl;}

【例题】储蓄罐

    小可可是一个很懂事的孩子，从不乱花钱，每次都把口袋里的硬币都放入他的存钱罐中。他记得空的存钱罐的重量是e克，装满硬币后的存钱罐是f克，并记得投入每枚硬币的价值和重量，请他帮他算一算他的存钱罐中至少存了多少钱。 
输入格式
    第一行是两个整数e和f，表示空的存钱罐的重量和装满了硬币的存钱罐的重量，单位为克。存钱罐的重量不会超过10kg，即1 <= e <= f <= 10000。
    第二行为一个整数n（1 <= n <= 500），表示存钱罐中硬币的种类。
    接下来的n行，每行两个整数p和w，（1 <= p <= 50000，1 <= w <=10000）。p是该种硬币的价值，w是该种硬币的重量。

输出格式
    输出一行，"The minimum amount of money in the piggy-bank is X." 其中x是存钱罐里最少存的钱。如果重量达不到要求，那么输出 "This is impossible."

样例输入样例输入1：10 11021 130 50样例输入2：10 11021 150 30样例输入3：1 6210 320 4 样例输出
样例输出1：The minimum amount of money in the piggy-bank is 60.样例输出2：The minimum amount of money in the piggy-bank is 100.样例输出3：This is impossible.

C++语言描述如下：#include<iostream>using namespace std;int dp[1000005];int main(){    int ma,mb,m;    int n,v[505],w[505],i,j;        cin >> ma >> mb;        m = mb-ma;  //必须减去小猪本身重量        cin >> n;        for(i = 0;i> v[i] >> w[i];        for(i = 0;i<=m;i++) dp[i] = 10000000;  //因为要求小的，所以dp数组必须存大数        dp[0] = 0;        for(i = 0;i<n;i++)            for(j = w[i];j<=m;j++) dp[j] = min(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);        if(dp[m] == 10000000)        cout << "This is impossible.\n";        else        cout << "The minimum amount of money in the piggy-bank is " << dp[m] << ".\n";    return 0;}