一次搞懂全排列——LeetCode四道Permutations问题详解

  LeetCode中与Permutations相关的共有四题：
  31. Next Permutation
  46. Permutations
  47. Permutations II
  60. Permutation Sequence
  大致包括了所有全排列问题可能考到的题型。
  本文按序列出了解这四道题的详细思路和AC代码。在各题之间，尽可能地使用了不同的解法，使大家对各种方法能有个了解。

目录

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• 下一个全排列数
  
  • 题一描述
  • 题一解析
  • 题一Java解答
• 无重复数字的全排列数
  
  • 题二描述
  • 题二解析
  • 题二Java解答
• 有重复数字的全排列数
  
  • 题三描述
  • 题三解析
  • 题三Java解答
• 取特定位置的全排列字符串
  
  • 题四描述
  • 题四解析
  • 题四Java解答  
     
     

下一个全排列数

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题一描述：

  原题链接：31. Next Permutation
  给定任一非空正整数序列，生成这些数所能排列出的下一个较大序列。若给出的序列为最大序列，则生成最小序列。

输入 → 输出1,2,3 → 1,3,23,2,1 → 1,2,31,1,5 → 1,5,1

题一解析：

概念:

  这里，先考虑一个序列的最大最小情况。当一个序列为非递减序列时，它必然是该组数的最小的排列数；同理，当一个序列为非递增序列时，它必然是该组数的最大的排列数。

举例:

  那么给定一个p(n)要如何才能生成p(n+1)呢？先来看下面的例子：
  我们用

结论:

  由此，我们可以知道，本题的关键即是求出数组末尾的最长的非递增子序列。
  不妨假设在数组nums中，nums[k+1]…nums[n]均满足前一个元素大于等于后一个元素，即这一子序列非递增。
  那么，我们要做的，就是把nums[k]与其后序列中稍大于nums[k]的数交换，接着再逆序nums[k+1]…nums[n]即可。
  
  根据这个思路，可以得到如下的AC代码。

题一Java解答：

public class Solution {    public void nextPermutation(int[] nums) {        int len = nums.length;        if (len<2)  return ;        int[] res = new int [len];        /* 从倒数第二个元素开始，从后向前，找到第一个满足(后元素>前元素)的情况         * 此时，记录前元素下标k，则[k+1,n-1]为一个单调非增子序列         * 那么，这里只需要将一个比nums[k]大的最小数与nums[k]交换         */        int lastEle = nums[len-1];        int k = len-2;        for (; k>=0; k--){            if (lastEle > nums[k])  break;            else {                lastEle = nums[k];                continue;            }        }        // 当前排列为最大排列，逆序之        if (k<0) {            for (int i=0; i<(len+1)/2; i++) {                swap(nums, i, len-1-i);            }        } else {            // 在nums[k+1,n-1]中寻找大于nums[k]的最小数            int index=0;            for (int i=len-1; i>k; i--) {                if (nums[i]>nums[k]) {                    swap(nums, i, k);                    index=i;                    break;                }            }            // index为0，表示当前nums[k]小于其后任意一个数，直接交换k与len-1            if (index==0){                swap(nums, k, len-1);            }            // 将nums[k+1,n-1]逆序            for (int i=k+1; i<(k+len+2)/2; i++) {                swap(nums, i, k+len-i);            }        }        return ;    }    // 交换元素    public void swap(int[] nums, int i, int j){        int temp = nums[i];        nums[i] = nums[j];        nums[j] = temp;    }}

无重复数字的全排列数

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题二描述：

  原题链接：46. Permutations
  给定一个无重复数字的序列，返回这些数所能排列出所有序列。

样例输入：[1,2,3]样例输出：[       [1,2,3],    [1,3,2],    [2,1,3],    [2,3,1],    [3,1,2],    [3,2,1]]

题二解析：

  这是很经典的全排列问题，本题的解法很多。因为这里的所有数都是相异的，故笔者采用了交换元素+DFS的方法来求解。
  下面列出我的AC代码。代码中附有中文注释，在此就不再赘述具体步骤。

题二Java解答：

public class Solution {    // 最终返回的结果集    List<List<Integer>> res = new ArrayList<List<Integer>>();    public List<List<Integer>> permute(int[] nums) {        int len = nums.length;        if (len==0||nums==null)  return res;        // 采用前后元素交换的办法，dfs解题        exchange(nums, 0, len);        return res;    }    public void exchange(int[] nums, int i, int len) {        // 将当前数组加到结果集中        if(i==len-1) {            List<Integer> list = new ArrayList<>();            for (int j=0; j<len; j++){                list.add(nums[j]);            }            res.add(list);            return ;        }        // 将当前位置的数跟后面的数交换，并搜索解        for (int j=i; j<len; j++) {            swap(nums, i, j);            exchange(nums, i+1, len);            swap(nums, i, j);        }    }    public void swap(int[] nums, int i, int j) {        int temp = nums[i];        nums[i] = nums[j];        nums[j] = temp;    }}

有重复数字的全排列数

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题三描述：

  原题链接：47. Permutations II
  给定一个含有重复数字的序列，返回这些数所能排列出的所有不同的序列。

样例输入：[1,1,2]样例输出：[  [1,1,2],  [1,2,1],  [2,1,1]]

题三解析

题意：

  本题与题二略有不同，给定的序列中含有重复元素，需要返回这些数所能排列出的所有不同的序列集合。

思路：

  这里我们先考虑一下，它与第二题唯一的不同在于：在DFS函数中，做循环遍历时，如果与当前元素相同的一个元素已经被取用过，则要跳过所有值相同的元素。
  举个例子：对于序列<1,1,2,3>。在DFS首遍历时，1 作为首元素被加到list中，并进行后续元素的添加；那么，当DFS跑完第一个分支，遍历到1 (第二个)时，这个1 不再作为首元素添加到list中，因为1 作为首元素的情况已经在第一个分支中考虑过了。
  为了实现这一剪枝思路，有了如下的解题算法。

解题算法：

  1. 先对给定的序列nums进行排序，使得大小相同的元素排在一起。
  2. 新建一个used数组，大小与nums相同，用来标记在本次DFS读取中，位置i的元素是否已经被添加到list中了。
  3. 根据思路可知，我们选择跳过一个数，当且仅当这个数与前一个数相等，并且前一个数未被添加到list中。
  根据以上算法，对题二的代码略做修改，可以得到如下的AC代码。
  (在处理一般性问题时，建议用此算法，毕竟题二只是特殊情况)

题三Java解答

public class Solution {    List<List<Integer>> res = new ArrayList<List<Integer>>();    public List<List<Integer>> permuteUnique(int[] nums) {        int len = nums.length;        if(len==0||nums==null)  return res;        boolean[] used = new boolean[len];        List<Integer> list = new ArrayList<Integer>();        Arrays.sort(nums);        dfs(nums, used, list, len);        return res;    }    public void dfs(int[] nums, boolean[] used, List<Integer> list, int len) {        if(list.size()==len) {            res.add(new ArrayList<Integer>(list));            return ;        }        for (int i=0; i<len; i++) {            // 当前位置的数已经在List中了            if(used[i]) continue;            // 当前元素与其前一个元素值相同 且 前元素未被加到list中，跳过该元素            if(i>0 && nums[i]==nums[i-1] && !used[i-1])   continue;            // 深度优先搜索遍历            used[i]=true;            list.add(nums[i]);            dfs(nums, used, list, len);            list.remove(list.size()-1);            used[i]=false;        }    }}

取特定位置的全排列字符串

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题四描述：

  原题链接：60. Permutation Sequence
  给定正整数n和k，要求返回在[1,2,…,n]所有的全排列中，第k大的字符串序列。

样例输入：3  4样例输出："231"

题四解析：

思路：

  这里我们先考虑一个特殊情况，当n=4时，序列为[1,2,3,4]，有以下几种情况：
  “1+(2,3,4)的全排列”
  “2+(1,3,4)的全排列”
  “3+(1,2,4)的全排列”
  “4+(1,2,3)的全排列”
  我们已经知道，对于n个数的全排列，有n!种情况。所以，3个数的全排列就有6种情况。
  
  如果我们这里给定的k为14，那么它将会出现在：
    “3+(1,2,4)的全排列”
  这一情况中。

  我们可以程式化地得到这个结果：取k=13(从0开始计数)，(n-1)!=3!=6，k/(n-1)!=2，而3在有序序列[1,2,3,4]中的索引就是2。
  同理，我们继续计算，新的k=13%6=1，新的n=3，那么1/(n-1)!=2/2=0。在序列[1,2,4]中，索引0的数是1。那么，此时的字符串为”31”。
  继续迭代，新的k=1%2=1，新的n=2，那么k/(n-1)!=1/1=1。在序列[2,4]中，索引为1的数是4。那么，此时的字符串为”314”。最后在串尾添上仅剩的2，可以得到字符串”3142”。
  经过验算，此串确实是序列[1,2,3,4]的全排列数中第14大的序列。

解题算法：

  1. 创建一个长度为n 的数组array，存放对应下标n的阶乘值。
  2. 再新建一个长度为n 的数组nums，初始值为nums[i]=i+1，用来存放待选的字符序列。
  3. 将得到的k减1后，开始迭代。迭代的规则是：迭代n次，每次选nums数组中下标为k/(n-1)!的数放在字符串的末尾，新的k=k%(n-1)!，新的n=n-1。
  4. 最后，返回得到的字符串。
  根据以上算法，可以得到如下的AC代码。

题四Java解答：

public class Solution {    public String getPermutation(int n, int k) {        StringBuilder sb = new StringBuilder();        int[] array = new int[n+1];        int sum = 1;        array[0] = 1;        // array[] = [1, 1, 2, 6, 24, ... , n!]        for (int i=1; i<=n; i++){            sum *= i;            array[i] = sum;        }        // nums[] = [1, 2, 3, ... n]        List<Integer> nums = new LinkedList<>();        for (int i=0; i<n; i++){            nums.add(i+1);        }        k--;        for (int i=1; i<=n; i++){            int index = k / array[n-i];            sb.append("" + nums.get(index));            nums.remove(index);            k = k % array[n-i];        }        return sb.toString();    }} 

 
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