An introduction to boundary conditions

ON BOUNDARY CONDITIONS FOR
MULTIDIMENSIONAL HYPERBOLIC SYSTEMS OF
CONSERVATION LAWS IN THE FINITE VOLUME
FRAMEWORK
多维双曲方程

The initial boundary value problem(I.B.V.P) in the linear case

首先考虑最简单的线性方程

{ut+auxu(x,0)=0,x>0,t>0=u0(x),x>0(1.1)

• 如果a>0,特征线将离开边界x=0，进入区域R+×R+,所以我们需要在边界x=0处描述解：
  
  u(0,t)=g(t),t>0(1.2)
  
  假如M=(x,t)∈R+×R+,那么u(M)是唯一确定的，则(1.1)(1.2)的解如下给出(练习1)
  
  
  u(x,t)u(x,t)=u0(x−at),=g(t−xa),ifif  x−atx−at>0<0

如果初边值是C1的,且满足相容条件

u0(0)=g(0),u′0(0)=−g′(0)a

那么解也是C1的。

- 若a<0,特征线是由内向外走的，而且 impinging on the boundary；信息是由给定的初值u0带出，不能在边界指定解。这时的解是

u(x,t)=u0(x−at),x⩾0,t>0

特别的

u(0,t)=u0(−at)

注意：a=0时，特征线垂直，不需要边界条件。

• 在0<x<1的条形区域时，边界条件就必须赋在 ingoing的特征上
  
  u(0,t)u(1,t)=g(t),t>0 =h(t),t>0 ifif a>0 a<0
  
  

二维的数量对流方程

考虑

{ut+aux+buyu(x,y,0)=0,(x,y,t)∈R×R×R+=u0（x,y）,(x,y)∈R

它的解是u(x,y,y)=u0(x−at,y−bt)
沿着特征线x−at=const和y−bt=Const解是常值，对流方向（解释一下？）是C⃗ =(c,1),c=(a,b)T

对于在区域Q=O×R+⊂R×R×R+（用符号Σ表示Q的边界，用Γ=∂O×R+表示Q的柱状外表）里的I.B.V.P问题，在Σ上有两种不同的数据：

1. 初值，给在t=0平面上的O集合里，注意：是整个O集合；
2. 边值，给在Γ上，在Γ上面，nt=0.

若anx+bny=c⋅n=0就称O的边界是characteristic，这里的n=(nx,ny)是t=0平面里的∂O的外法向。

首先考虑“半空间问题”O={(x,y)|x>0,y∈R},Q=R∗+×R×R∗+

这个时候，边界Σ由两部分构成(t=0,x⩾0) &Γ={x=0,t>0},∀M∗=(x∗，y∗,t∗)∈Q,过M∗的特征线可以写成

{x−aty−bt=x∗−at∗=y∗−bt∗(1.4)

特征线（1.4）在t0=t∗−x∗a 时刻 ，交于边界x=0

1. 假设a>0,若x∗>at∗,则t0<0;但特征线（1.4）交于边界t=0 at point (x0,y0,0)
   
   x0y0=x∗−at∗=y∗−bt∗
   
   这个时候解是由初值给定的
   
   u(x∗,y∗,t∗)=u0(x∗−at∗,y∗−bt∗)
   
   Otherwise，0⩽t0⩽t∗,0⩽x∗<at∗,则相交点M0=(0,y0,t0)∈Γ={x=0,t⩾0}
   这个时候
   u(x∗,y∗,t∗)=u(0,y0,t0)=u(0,y∗−b(t∗−t0),t∗−x∗a)
   
   这表明要在边界x=0上描述解，这里的特征是 incoming

u(0,y,t)u(x∗,y∗,t∗)=g(u,t),t>0=g(y∗−bx∗a,t∗−x∗a)

1.2. 若a<0 特征线于时间t0>T交于边界x=0,交于边界t=0于x0=x∗−at∗,y0=y∗−bt∗,因而不能在边界x=0上指定边界条件；这时的解是由初值条件决定的；a=0时，边界是典型的，也认为是outging的边界。

总之，必须在边界的incoming 部分Γ−=∂O−×R+给出边界条件。这里的∂O−={(x,y)∈∂O，c⋅n<0}特别的是，∂O的外法向量n=(−1,0)T;若a>0时，Γ−=Γ={x=0,t>0};若a<0,Γ−是空集。

更一般地，考虑有界集 O⊂R2，为了知道(x∗,y∗,t∗)∈Q=O×R∗+处的解是否有定义，首先要画出（1.4）那样的特征线，看它与边界Σ的相交情况:

1. 如果交于平面t=0于点(x0=x∗−at∗,y0=y∗−bt∗)∈O,则解由初值决定
   u(x∗,y∗,t∗)=u0(x0,y0)=u0(x∗−at∗,y∗−bt∗)
2. 其他情况下，特征线在时间t0交Γ于(x0,y0,t0),满足0⩽t0<t∗.一方面，在相同的特征线上有(x∗−x0,y∗−y0)T=(t∗−t0)C
3.