最长公共子序列问题LCS

问题描述：给定两个字符串s1s2...sn和t1t2...tn，求出这两个字符串最长的公共子序列长度，字符串s的所有字符按其在字符串中的顺序出现在另外一个字符串t中,但并不要求字符串s中的字符连续出现在字符串t中，例如：s="abcd",t="becd",则最长公共子序为"bcd"，长度为3。

问题分析：

     Xi=﹤x1，⋯，xi﹥即X序列的前i个字符 (1≤i≤m)（前缀）

     Yj=﹤y1，⋯，yj﹥即Y序列的前j个字符 (1≤j≤n)（前缀）

     假定Z=﹤z1，⋯，zk﹥∈LCS(X , Y)。

若xm=yn（最后一个字符相同），则不难用反证法证明：该字符必是X与Y的任一最长公共子序列Z（设长度为k）的最后一个字符，即有zk = xm = yn 且显然有Zk-1∈LCS(Xm-1 , Yn-1)即Z的前缀Zk-1是Xm-1与Yn-1的最长公共子序列。此时，问题化归成求Xm-1与Yn-1的LCS（LCS(X , Y)的长度等于LCS(Xm-1 , Yn-1)的长度加1）。

若xm≠yn，则亦不难用反证法证明：要么Z∈LCS(Xm-1, Y)，要么Z∈LCS(X , Yn-1)。由于zk≠xm与zk≠yn其中至少有一个必成立，若zk≠xm则有Z∈LCS(Xm-1 , Y)，类似的，若zk≠yn 则有Z∈LCS(X , Yn-1)。此时，问题化归成求Xm-1与Y的LCS及X与Yn-1的LCS。LCS(X , Y)的长度为：max{LCS(Xm-1 , Y)的长度, LCS(X , Yn-1)的长度}。

由于上述当xm≠yn的情况中，求LCS(Xm-1 , Y)的长度与LCS(X , Yn-1)的长度，这两个问题不是相互独立的：两者都需要求LCS(Xm-1，Yn-1)的长度。另外两个序列的LCS中包含了两个序列的前缀的LCS，故问题具有最优子结构性质考虑用动态规划法。

也就是说，解决这个LCS问题，你要求三个方面的东西：1、LCS（Xm-1，Yn-1）+1；2、LCS（Xm-1，Y），LCS（X，Yn-1）；3、max{LCS（Xm-1，Y），LCS（X，Yn-1）}。

最长公共子序列的结构有如下表示：

设序列X=<x₁, x₂, …, x_m>和Y=<y₁, y₂, …, y_n>的一个最长公共子序列Z=<z₁, z₂, …, z_k>，则：

1. 若x_m=y_n，则z_k=x_m=y_n且Z_k-1是X_m-1和Y_n-1的最长公共子序列；
2. 若x_m≠y_n且z_k≠x_{m ，}则Z是X_m-1和Y的最长公共子序列；
3. 若x_m≠y_n且z_k≠y_n ，则Z是X和Y_n-1的最长公共子序列。

其中X_m-1=<x₁, x₂, …, x_m-1>，Y_n-1=<y₁, y₂, …, y_n-1>，Z_k-1=<z₁, z₂, …, z_k-1>。

dp[i+1][j+1]=dp[i][j]+1 (x_m=y_n)

            =max(dp[i][j+1],dp[i+1][j]) (x_m≠y_n)

代码：

int n,m;//长度char s[MAX_N],t[MAX_M];int dp[MAX_N+1][MAX_M+1];//DP数组void solve(){    for(int i=0;i<n;i++)    {        for(int j=0;j<m;j++)        {            if(s[i]==t[j])                dp[i+1][j+1]=dp[i][j]+1;            else                 dp[i+1][j+1]=max(dp[i][j+1],dp[i+1][j]);        }    }    printf("%d\n",dp[n][m]);//dp[n][m]就是LCS长度}