堆与堆排序

 堆排序与快速排序，归并排序一样都是时间复杂度为O(N*logN)的几种常见排序方法。学习堆排序前，先讲解下什么是数据结构中的二叉堆。

二叉堆的定义

二叉堆是完全二叉树或者是近似完全二叉树。

二叉堆满足二个特性：

1．父结点的键值总是大于或等于（小于或等于）任何一个子节点的键值。

2．每个结点的左子树和右子树都是一个二叉堆（都是最大堆或最小堆）。

当父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值时为最大堆。当父结点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值时为最小堆。下图展示一个最小堆：

由于其它几种堆（二项式堆，斐波纳契堆等）用的较少，一般将二叉堆就简称为堆。

堆的存储

一般都用数组来表示堆，i结点的父结点下标就为(i – 1) / 2。它的左右子结点下标分别为2 * i + 1和2 * i + 2。如第0个结点左右子结点下标分别为1和2。

堆的操作——插入删除

下面先给出《数据结构C++语言描述》中最小堆的建立插入删除的图解，再给出本人的实现代码，最好是先看明白图后再去看代码。

堆的插入

每次插入都是将新数据放在数组最后。可以发现从这个新数据的父结点到根结点必然为一个有序的数列，现在的任务是将这个新数据插入到这个有序数据中——这就类似于直接插入排序中将一个数据并入到有序区间中，对照《白话经典算法系列之二 直接插入排序的三种实现》不难写出插入一个新数据时堆的调整代码：

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1. //  新加入i结点  其父结点为(i - 1) / 2  
2. void MinHeapFixup(int a[], int i)  
3. {  
4.     int j, temp;  
5.       
6.     temp = a[i];  
7.     j = (i - 1) / 2;      //父结点  
8.     while (j >= 0 && i != 0)  
9.     {  
10.         if (a[j] <= temp)  
11.             break;  
12.           
13.         a[i] = a[j];     //把较大的子结点往下移动,替换它的子结点  
14.         i = j;  
15.         j = (i - 1) / 2;  
16.     }  
17.     a[i] = temp;  
18. }  

更简短的表达为：

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1. void MinHeapFixup(int a[], int i)  
2. {  
3.     for (int j = (i - 1) / 2; (j >= 0 && i != 0)&& a[i] > a[j]; i = j, j = (i - 1) / 2)  
4.         Swap(a[i], a[j]);  
5. }  

插入时：

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1. //在最小堆中加入新的数据nNum  
2. void MinHeapAddNumber(int a[], int n, int nNum)  
3. {  
4.     a[n] = nNum;  
5.     MinHeapFixup(a, n);  
6. }  

堆的删除

按定义，堆中每次都只能删除第0个数据。为了便于重建堆，实际的操作是将最后一个数据的值赋给根结点，然后再从根结点开始进行一次从上向下的调整。调整时先在左右儿子结点中找最小的，如果父结点比这个最小的子结点还小说明不需要调整了，反之将父结点和它交换后再考虑后面的结点。相当于从根结点将一个数据的“下沉”过程。下面给出代码：

//  从i节点开始调整,n为节点总数 从0开始计算 i节点的子节点为 2*i+1, 2*i+2  void MinHeapFixdown(int a[], int i, int n)  {      int j, temp;        temp = a[i];      j = 2 * i + 1;      while (j < n)      {          if (j + 1 < n && a[j + 1] < a[j]) //右子节点存在(编号没有超过最大值n)&&右子节点小于左子节点              j++;    //a[j]被指向右子节点  //已经选出了较小子节点        if (a[j] >= temp)    //若较小子节点比父节点大结束循环            break;            a[i] = a[j];     //把较小的子结点往上移动,替换它的父结点          i = j;   //接下来处理子节点的子节点        j = 2 * i + 1;      }      a[i] = temp;  }  //在最小堆中删除数  void MinHeapDeleteNumber(int a[], int n)  {      Swap(a[0], a[n - 1]);      MinHeapFixdown(a, 0, n - 1);  }  

堆化数组

有了堆的插入和删除后，再考虑下如何对一个数据进行堆化操作。要一个一个的从数组中取出数据来建立堆吧，不用！先看一个数组，如下图：

很明显，对叶子结点来说，可以认为它已经是一个合法的堆了即20，60， 65， 4， 19都分别是一个合法的堆。只要从A[4]=50开始向下调整就可以了。然后再取A[3]=30，A[2] = 17，A[1] = 12，A[0] = 9分别作一次向下调整操作就可以了。下图展示了这些步骤：

写出堆化数组的代码：

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1. //建立最小堆  
2. void MakeMinHeap(int a[], int n)  
3. {  
4.     for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--)  
5.         MinHeapFixdown(a, i, n);  
6. }  

至此，堆的操作就全部完成了(注1)，再来看下如何用堆这种数据结构来进行排序。

堆排序

堆排序特点：

堆排序的时间，主要由建立初始堆和反复重建堆这两部分的时间开销构成，它们均是通过调用Heapify实现的。　　

堆排序的最坏时间复杂度为O(nlogn)。堆序的平均性能较接近于最坏性能。　　

由于建初始堆所需的比较次数较多，所以堆排序不适宜于记录数较少的文件。　　

堆排序是就地排序，辅助空间为O(1）。 　　

它是不稳定的排序方法。

相关面试应用：

1.海量整数中选取最大的N个；

答：只需建一个具有N个节点的大根堆即可，不停地往里插入节点。

2.设计一个数据结构，其中包含两个函数，1.插入一个数字，2.获得中数。并估计时间复杂度。

答：使用大根堆和小根堆存储。
　　使用大根堆存储较小的一半数字，使用小根堆存储较大的一半数字。
　　插入数字时，在O(logn)时间内将该数字插入到对应的堆当中，并适当移动根节点以保持两个堆数字相等（或相差1）。获取中数时，在O(1)时间内找到中数。

大根堆排序算法的基本操作：

①建堆，建堆是不断调整堆的过程，从len/2处开始调整，一直到第一个节点，此处len是堆中元素的个数。建堆的过程是线性的过程，从len/2到0处一直调用调整堆的过程，相当于o(h1)+o(h2)…+o(hlen/2) 其中h表示节点的深度，len/2表示节点的个数，这是一个求和的过程，结果是线性的O(n)。

②调整堆：调整堆在构建堆的过程中会用到，而且在堆排序过程中也会用到。利用的思想是比较节点i和它的孩子节点left(i),right(i)，选出三者最大(或者最小)者，如果最大（小）值不是节点i而是它的一个孩子节点，那边交互节点i和该节点，然后再调用调整堆过程，这是一个递归的过程。调整堆的过程时间复杂度与堆的深度有关系，是lgn的操作，因为是沿着深度方向进行调整的。

③堆排序：堆排序是利用上面的两个过程来进行的。首先是根据元素构建堆。然后将堆的根节点取出(一般是与最后一个节点进行交换)，将前面len-1个节点继续进行堆调整的过程，然后再将根节点取出，这样一直到所有节点都取出。堆排序过程的时间复杂度是O(nlgn)。因为建堆的时间复杂度是O(n)（调用一次）；调整堆的时间复杂度是lgn，调用了n-1次，所以堆排序的时间复杂度是O(nlgn)

首先可以看到堆建好之后堆中第0个数据是堆中最小的数据。取出这个数据再执行下堆的删除操作。这样堆中第0个数据又是堆中最小的数据，重复上述步骤直至堆中只有一个数据时就直接取出这个数据。

由于堆也是用数组模拟的，故堆化数组后，第一次将A[0]与A[n - 1]交换，再对A[0…n-2]重新恢复堆。第二次将A[0]与A[n – 2]交换，再对A[0…n - 3]重新恢复堆，重复这样的操作直到A[0]与A[1]交换。由于每次都是将最小的数据并入到后面的有序区间，故操作完成后整个数组就有序了。有点类似于直接选择排序。

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1. void MinheapsortTodescendarray(int a[], int n)  
2. {  
3.     for (int i = n - 1; i >= 1; i--)  
4.     {  
5.         Swap(a[i], a[0]);  
6.         MinHeapFixdown(a, 0, i);  
7.     }  
8. }  

注意使用最小堆排序后是递减数组，要得到递增数组，可以使用最大堆。

由于每次重新恢复堆的时间复杂度为O(logN)，共N - 1次重新恢复堆操作，再加上前面建立堆时N / 2次向下调整，每次调整时间复杂度也为O(logN)。二次操作时间相加还是O(N * logN)。故堆排序的时间复杂度为O(N * logN)。STL也实现了堆的相关函数，可以参阅《STL系列之四 heap 堆》。

 

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