动态规划：青蛙跳台阶、变态跳台阶

青蛙跳台阶问题是一个简单的动态规划问题。

问题1：普通跳台阶

一只青蛙可以一次跳 1 级台阶或者一次跳 2 级台阶，例如：

1. 跳上第 1 级台阶只有一种跳法：直接跳 1 级即可。
2. 跳上第 2 级台阶有两种跳法：每次跳 1 级，跳两次；或者一次跳 2 级。

问要跳上第 n 级台阶有多少种跳法？

很多人喜欢正向思考，使用暴力求解，但往往这是一个很复杂的问题。我们可以反过来思考：

如果我们要跳上第 n 级台阶，该怎么跳？此时问题就简单多了，答案是，要么从第 n−1 级台阶跳一级上来，要么从第 n−2 级台阶跳两级上来，除此，青蛙再也没有其他的方法可以跳上第 n 级台阶。

我们令 f(n) 表示从第一级台阶跳上第 n 级台阶有几种跳法。则有如下递推公式：

f(n)=f(n−1)+f(n−2)

是不是很熟悉，它不就是斐波那契数列吗，代码就很简单啦：

int jumpFloor(int number) {    int g = 1, f = 2;    while (number-- > 1) {        f += g;        g = f - g;    }    return g;}

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问题2：变态跳台阶

变态跳台阶问题是这样的：如果青蛙可以一次跳 1 级，也可以一次跳 2 级，一次跳 3 级，…，一次跳 n 级。问要跳上第 n 级台阶有多少种跳法？

同样的，我们采用逆向思维，将问题改为：跳上第 n 级台阶该怎么跳？答案如下：

要跳上第 n 级台阶，可以从第 n−1 级台阶一次跳上来，也可以可以从第 n−2 级台阶一次跳上来，也可以可以从第 n−3 级台阶一次跳上来，…，也可以可以从第 1 级台阶一次跳上来。那么问题就很简单啦，同样的，令 f(n) 表示从第一级台阶跳上第 n 级台阶有几种跳法。则有如下递推公式：

f(n)=f(n−1)+f(n−2)+...+f(1)

同时，f(n−1) 也可以表示如下：

f(n−1)=f(n−2)+f(n−3)+...+f(1)

所以，由上面两个公式可知：

f(n)=2f(n−1)=4f(n−2)=8f(n−3)=...

即：

f(n)=2f(n−1)=22f(n−2)=23f(n−3)=...=2n−1f(n−(n−1))=2n−1f(1)

因为 f(1)=1，所以 f(n)=2n−1。

代码如下：

int square(int a) { return a * a; }int power2(int n) { // 计算2的n次方    if (0 == n) return 1;    return n % 2 ? square(power2(n>>1))<<1 : square(power2(n>>1));}int jumpFloorII(int number) {    return power2(number - 1);}