二叉树的性质综合

摘自《大话数据结构》，随时补充

1、二叉树第i层上最多有2i−1个节点。
2、深度为k的二叉树最多有2k−1个节点
3、对任意一个二叉树，如果终端节点数为n0,度为2的节点数为n2，那么n0=n2+1
证明：二叉树每个节点都有一个分支进入，唯独根节点没有分支进入，那么总分支数=节点总数-1。所以分支总数=2n2+n1=节点总数-1=n0+n1+n2−1。得出n0=n2+1
4、具有n个节点的完全二叉树的深度为|log2n|+1，|x|是不大于x的最大整数
证明：完全二叉树–>对一个二叉树按层次顺序编号，如果编号i(1≤i≤n)的节点与同样深度的满二叉树中编号为i的节点在二叉树中的位置完全相同，则这个二叉树就是完全二叉树。比如上图就是一个完全二叉树，下图就不是（去掉2节点的分支后）

去掉2的分支后，节点5就不存在了，与相应的满二叉树的节点5位置就不同了，因此不是完全二叉树。
那么，该结论的证明如下：
根据完全二叉树的定义，深度为k的完全二叉树的叶子节点一定在最后两层，也就是说完全二叉树的节点个数一定大于2k−1−1，那么满足2k−1−1<n≤2k−1 —>2k−1≤n<2k，得k−1≤log2n<k，那么n=|log2n|+1
5、如果对一个有n个节点的完全二叉树的节点按层序编号，对任一节点i有
（1）如果i=1，则节点i是二叉树的根节点；如果i>1，那么i的双亲节点是|i/2|
（2）如果2i>n，那么节点i无左孩子；否则其左孩子就是2i
（3）如果2i+1>n，则节点无左孩子；否则其右孩子是节点2i+1。