动态规划——数塔问题

题目：如图一个数塔，从顶部出发在每一个节点可以选择向左或者向右走，一直走到最底层，找出一条路径，使得路径上的数字之和最大.

思路分析：
误区：看到这个题第一个想法就是使用贪婪算法，从而得到的结果是9->15->8->9->10.然而这道题目的正确结果应该是9->12->10->18->10.所以不能使用贪婪算法来求解这条题目。

思路：在用动态规划考虑数塔问题时可以从下往上计算。
从顶点出发时选择向左走还是向右走取决于是向左走能取到最大值还是向右走能取到最大值，所以在选择之前必须要先求出左右两条路径的值。同理下一层再往下寻找道路时也要线求出左右两条路径的值。以此类推目前一直到第四层中的节点向第五层中选择。
以一层数据的选择为一个阶段，那么这个问题的求解可以分为4个阶段。
第一阶段：从第四层数据向下选择
第二阶段：从第三层数据向下选择
第三阶段：从第二层数据向下选择
第四阶段：从第一层数据向下选择
第一阶段过程分析：
所以第一步对第五层的8个数据，做如下四次选择：
如果经过2，则在第五层的19和7中选择19；
如果经过18，则在第五层的7和10中选择10；
如果经过9，则在第五层的10和4中选择10；
如果经过5，则在第五层的4和16中选择16；

经过一次决策，问题降了一阶。5层数塔问题转换成4层数塔问题
此时可以另外创建一个数组temp来存放选择之后的数塔

推到最后的temp数组

C代码(方法一）：

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>int max(int x,int y){    if(x>y)        return x;    else        return y;}void Out(int **tower,int **temp,int n)  //路径输出{    int value=temp[1][1],j=1,i;    printf("%d",tower[1][1]);    for(i=1;i<n;i++)    {        value=value-tower[i][j];        if(dp[i+1][j+1]==value)            j=j+1;        printf("  %d",tower[i+1][j]);    }}int main(){   int n,i,j;  //  n为数塔的行数字   int **tower,**temp;   printf("请输入你的数塔行数：\n");   scanf("%d",&n);   tower=(int)malloc(n*sizeof(int *));   for(i=0;i<=n;i++)    tower[i]=(int)malloc(n*sizeof(int));   temp=(int)malloc(n*sizeof(int *));   for(i=0;i<=n;i++)    temp[i]=(int)malloc(n*sizeof(int));   printf("按行输入你的数塔数字：\n");   for(i=1;i<=n;i++)       for(j=1;j<=i;j++)           scanf("%d",&tower[i][j]);        //输出数塔  for(i=1;i<=n;i++)       for(j=1;j<=i;j++)            temp[i][j]=tower[i][j];   for(i=n-1;i>=1;i--)    {        for(j=1;j<=i;j++)        {            temp[i][j]+=max(temp[i+1][j],temp[i+1][j+1]);        }    }    printf("最大值:%d\n",temp[1][1]);    printf("路径:");    Out(tower,temp,n);    return 0;}

C++代码（方法二）：

#include <iostream>using namespace std;typedef struct{    int data;    //用来存放数塔的数值    int value;   //用来存放每一个阶段之后各个位置的value    int next;    //用来存放当前数字的下一个数字所在位置}Tower;int main(){    Tower **num;    int i,j,row,t1,t2,key=1;    cout<<"请输入数塔的层数:";    cin>>row;    num=new Tower*[row+1];    for(i=0;i<=row;i++)        num[i]=new Tower[row+1];    cout<<"请输入数塔:";    for(i=1;i<=row;i++)      //数塔赋初值        for(j=1;j<=i;j++)        {            cin>>num[i][j].data;            num[i][j].value=num[i][j].data;            num[i][j].next=0;        }    for(i=row-1;i>=1;i--)       //从第row-1行往上推        for(j=1;j<=i;j++)        {            t1=num[i][j].value+num[i+1][j].value;            t2=num[i][j].value+num[i+1][j+1].value;            if(t1>t2)            {                num[i][j].value=t1;num[i][j].next=j;            }            else            {                num[i][j].value=t2;num[i][j].next=j+1;            }        }   cout<<"最大值为:";   cout<<num[1][1].value<<endl<<"取值路径:"<<endl;   for(i=1;i<=row;i++)      //数塔赋初值    {         cout<<num[i][key].data<<" ";         key=num[i][key].next;    }    return 0;}

方法二较方法一不一样的地方在于输出路径是方法二借助了结构体来实现，结构体类型的数组num不仅存放了每次选择后的value同时存放了路径记录（用next来记录）。