数字三角形

数字三角形：

问题描述：

有 n 行组成的数字三角形，找出一条从顶都底路径，使其经过的数字组成的数字之和最大，输出最大值；

思路：

求最大路径有以下几种方法：

1. 直接枚举所有路径，再比较找出最大路径；
2. 若设 d(i, j) 为从 i, j 开始的最大路径和，则 d(i, j) = max{ d(i+1, j), d(i+1, j+1)}

对于第二种 DP 情况，定义了状态和状态方程，几种计算方法：

1. 直接递归（重复计算子问题，复杂度指数级）
2. 递推存表（避免重复计算子问题，复杂度 n^2）
3. 递归存表（记忆化搜索）（避免重复计算子问题，复杂度 n^2）

代码：

// 直接枚举搜索// 输出最大路径及其路径#include <iostream>#include <cstdio>using namespace std;const int maxn = 100;int arr[maxn][maxn];int route[maxn];int maxroute[maxn];int n;  // n levelint maxnum;void backtracking(int i, int j){    if(i == n-1)    {        int temp = 0;        route[i] = arr[i][j];        for(int k = 0; k < n; k++)            { printf("%d ", route[k]); temp += route[k]; }        printf("\n");        if(temp > maxnum)        {            maxnum = temp;            for(int k = 0; k < n; k++) maxroute[k] = route[k];        }    }    else    {        route[i] = arr[i][j];        backtracking(i+1, j);        backtracking(i+1, j+1);    }}int main(){    scanf("%d", &n);    for(int i = 0; i < n; i++)        for(int j = 0; j <= i; j++)            scanf("%d", &arr[i][j]);    backtracking(0, 0);    for(int i = 0; i < n; i++) printf("%d ", maxroute[i]);    printf("%d", maxnum);    return 0;}

对 n 层数字三角形，一共有 (1+n)*n/2 个节点；
遍历所有路线有 2^(n-1)条；
这显然是最不理想的状态，因为除了两边的节点，中间的节点都被重复访问了；

---

// 递归存表#include <iostream>#include <cstdio>using namespace std;const int maxn = 100;int arr[maxn][maxn];int d[maxn][maxn];int n;  // n levelint solve(int i, int j){    if(d[i][j]) return d[i][j];    return d[i][j] = arr[i][j] + ((i == n-1) ? 0 : max(solve(i+1, j), solve(i+1, j+1)));}int main(){    scanf("%d", &n);    for(int i = 0; i < n; i++)        for(int j = 0; j <= i; j++)            scanf("%d", &arr[i][j]);    printf("%d", solve(0, 0));    return 0;}

---

// 递推存表// 输出最长路径，无具体路径#include <iostream>#include <cstdio>using namespace std;const int maxn = 100;int arr[maxn][maxn];int d[maxn][maxn];int n;  // n levelint main(){    scanf("%d", &n);    for(int i = 0; i < n; i++)        for(int j = 0; j <= i; j++)            scanf("%d", &arr[i][j]);    for(int i = n-1; i >= 0; i--)        for(int j = 0; j <= i; j++)        // 注意优先级            d[i][j] = arr[i][j] + ((i==n-1)?0:max(d[i+1][j], d[i+1][j+1]));    printf("%d", d[0][0]);    return 0;}