动态规划----线性动态规划

一、朴素最长非降子序列

1.问题引入

现输入一行数字，要求输出其中最长的非降子序列。

如输入 5 3 4 8 6 7，应输出4；

再如输入3 4 8 6 7，应输出4。

2.思路分析

设dp[i]表示遍历到第i个数时最长子序列的值，首先从第一个数开始，dp[0]=1,这是已知值。之后从i=1开始，逐一与前面的数比较，可设j<i，则如果第i个数大于等于第j个数，dp[i]=dp[j]+1，否则dp[i]=dp[i-1]。对于所有的j，取dp[i]的最大值即可。由此得到状态转移方程dp [i]= max{dp[j]+1}。

3.代码如下：

package 动态规划__线性动态规划;import java.io.BufferedReader;import java.io.IOException;import java.io.InputStreamReader;public class 朴素最长非降子序列 {public static void main(String args[]) throws IOException{BufferedReader buf=new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));String str=buf.readLine();String s[]=str.split(" ");int dp[]=new int[s.length];dp[0]=1;for(int i=1;i<s.length;i++){for(int j=0;j<i;j++){if(Integer.parseInt(s[i])>=Integer.parseInt(s[j])) dp[i]=Math.max(dp[j]+1, dp[i]);elsedp[i]=dp[i-1];}}System.out.print(dp[s.length-1]);}}

二、方块消除游戏

三、最长公共序列数问题

1.问题引入：

给定两个字符串A和B，返回两个字符串的最长公共子序列的长度。例如，A="1A2C3D4B56”，B="B1D23CA45B6A”，”123456"或者"12C4B6"都是最长公共子序列。给定两个字符串A和B，同时给定两个串的长度n和m，请返回最长公共子序列的长度。保证两串长度均小于等于300。测试样例：第一行输入一个字符串，第二行再输入一个字符串。最后输出最长公共子串的长度。如：1A2C3D4B56

B1D23CA45B6A

输出：6

2.思路分析：

设dp[n][m] ，为A的前n个字符与B的前m个字符的公共序列长度，则当A[n]==B[m]的时候，dp[i][j] =
 max(dp[i-1][j-1]+1,dp[i-1][j],dp[i][j-1])，否则，dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);

3.代码如下：

package 动态规划__线性动态规划;import java.io.BufferedReader;import java.io.IOException;import java.io.InputStreamReader;public class 最长公共子串 {public static void main(String args[]) throws IOException{BufferedReader buf=new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));String s1=buf.readLine();String s2=buf.readLine();String s11[]=s1.split("");String s21[]=s2.split("");int dp[][]=new int[s11.length+1][s21.length+1];for(int i=0;i<s11.length;i++)dp[i][0]=0;for(int j=0;j<s21.length;j++)dp[0][j]=0;for(int i=1;i<=s11.length;i++){for(int j=1;j<=s21.length;j++){if(s11[i-1].equals(s21[j-1]))dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;elsedp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);}}System.out.println(dp[s11.length][s21.length]);}}

现在如果是要把这个最长公共子序列输出来，可以这样：

public class MaxString {public static void main(String[] args) {String a=max("qwerabcdtyuiop","xcabcdvbn");System.out.println(a);}public static String max(String s1,String s2){String dp[][]=new String[s1.length()+1][s2.length()+1];for(int i=0;i<=s1.length();i++){for(int j=0;j<=s2.length();j++){dp[i][j]="";}}for(int i=0;i<s2.length();i++)dp[0][i]="";for(int j=0;j<s1.length();j++)dp[j][0]="";for(int i=1;i<=s1.length();i++){for(int j=1;j<=s2.length();j++){if(s1.charAt(i-1)==s2.charAt(j-1)){dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+s1.charAt(i-1);}else{if(dp[i-1][j].length()>dp[i][j-1].length())dp[i][j]=dp[i-1][j];elsedp[i][j]=dp[i][j-1];}}}return dp[s1.length()][s2.length()];}}

再看一个相似的例子：构造回文数问题，现输入一个字符串，则至少删除几个元素可以使这个字符串成为一个回文字符串，输出这个最小值。这题也可以转化为最长公共子序列问题，我们把原字符串逆序得到一个新的字符串，求出这两个字符串的最长公共子序列长度，再用原字符串的长度减去这个最长公共子序列的长度即为所求值。

代码如下：

package 动态规划;    import java.util.Scanner;    public class 构造回文字符串 {      public static void main(String args[]){          String str=new Scanner(System.in).nextLine();          int max=Hui(str,str.length());          System.out.println(max);      }      public static int Hui(String str,int len){          String rev=new StringBuffer(str).reverse().toString();          int dp[][]=new int[len+1][len+1];          for(int i=0;i<len+1;i++ ) dp[i][0]=dp[0][1]=0;          for(int i=1;i<=len;i++){              for(int j=1;j<=len;j++){                  if(str.charAt(i-1)==rev.charAt(j-1))                       dp[i][j]=dp[i-1][j-1]//把当前比较的两个字符去掉，前面匹配的有多少个                              +1;                  else                      dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);              }          }          int max=dp[len][len];//最大匹配数          return len-max;      }    }