全排列的编码与解码——【康托展开及其逆运算】

来源：互联网发布：淘宝怎么刷层级编辑：程序博客网时间：2024/06/05 00:32

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康托展开表示的是当前排列在n个不同元素的全排列中的名次。比如213在这3个数所有排列中排第3。

那么，对于n个数的排列，康托展开为：

其中表示第i个元素在未出现的元素中排列第几。举个简单的例子：

对于排列4213来说，4在4213中排第3，注意从0开始，2在213中排第1，1在13中排第0，3在3中排第0，即：

，这样得到4213在所有排列中排第ans=20

代码实现：(从0开始计数)

[cpp] view plain copy
 
//康托展开  
LL Work(char str[])  
{  
    int len = strlen(str);  
    LL ans = 0;  
    for(int i=0; i<len; i++)  
    {  
        int tmp = 0;  
        for(int j=i+1; j<len; j++)  
            if(str[j] < str[i]) tmp++;  
        ans += tmp * f[len-i-1];  //f[]为阶乘  
    }  
    return ans;  //返回该字符串是全排列中第几大，从1开始  
}  

康托展开的逆运算：就是根据某个排列的在总的排列中的名次来确定这个排列。比如：

求1234所有排列中排第20的是啥，那么就利用辗转相除法确定康托展开中的系数，然后每次输出当前未出现过的第个元素。

代码实现康托展开逆运算：

[cpp] view plain copy
 
//康托展开逆运算  
void Work(LL n,LL m)  
{  
    n--;  
    vector<int> v;  
    vector<int> a;  
    for(int i=1;i<=m;i++)  
        v.push_back(i);  
    for(int i=m;i>=1;i--)  
    {  
        LL r = n % f[i-1];  
        LL t = n / f[i-1];  
        n = r;  
        sort(v.begin(),v.end());  
        a.push_back(v[t]);  
        v.erase(v.begin()+t);  
    }  
    vector<int>::iterator it;  
    for(it = a.begin();it != a.end();it++)  
        cout<<*it;  
    cout<<endl;  
}  

Problem C: 排列序数(21分)

Description

X星系的某次考古活动发现了史前智能痕迹。
这是一些用来计数的符号，经过分析它的计数规律如下：
（为了表示方便，我们把这些奇怪的符号用a~q代替）

abcdefghijklmnopq 表示0
abcdefghijklmnoqp 表示1
abcdefghijklmnpoq 表示2
abcdefghijklmnpqo 表示3
abcdefghijklmnqop 表示4
abcdefghijklmnqpo 表示5
abcdefghijklmonpq 表示6
abcdefghijklmonqp 表示7
.....

在一处石头上刻的符号是：
bckfqlajhemgiodnp

请你计算出它表示的数字是多少？

请输出该整数，不要输出任何多余的内容，比如说明或注释。

（注：蓝桥杯比赛时，此题为填空题，直接填写答案即可）

Input

无

Output

无

Sample Input

无

Sample Output

无

#include<stdio.h>#include<math.h>#include<stdlib.h>#include<string.h>long long fun(long long n){    long long s = 1;    for(int i = 1;i<=n;i++)        s*=i;    return s;}int main(){    int f[18] = {0};        int dig[] = {0,2,3,11,6,17,12,1,10,8,5,13,7,9,15,4,14,16};        long long sum = 0;        for(int i = 1;i<18;i++){            long long t = 0;            for(int j = 1;j<18;j++){                if(j==dig[i]){f[j]=1;break;}                if(f[j]==0)t++;            }            sum+=(t)*fun(18-1-i);//此处康托展开式公式        }        printf("%lld",sum);    return 0;}

或

[cpp] view plain copy
 print?
#include <cstdio>  
#include <cstring>  
#include <iostream>  
#include <algorithm>  
using namespace std;  
#define ll long long  
  
ll pow(ll a)  
{  
    ll s = 1;  
    for(ll i = 1; i <= a; i++)  
        s *= i;  
    return s;  
}  
  
int main()  
{  
    char s[18]="bckfqlajhemgiodnp";//17长度  
    ll a, ans = 0, k;  
    for(int i = 0; i < 16; i++)  
    {  
        k = 0;  
        for(int j = i+1; j < 17; j++)  
            if(s[i] > s[j]) k++;  
        ans += k * pow(16-i);  
    }  
    printf("%lld\n", ans);  
    return 0;  
}  
  
/** 
根据题意，可知题目计算的为全排列的次数 
然后找规律 
0123 0   0*3! + 0*2! + 0*1! = 0 
0132 1   0*3! + 0*2! + 1*1! = 1 
0213 2   0*3! + 1*2! + 0*1! = 2 
0231 3   0*3! + 1*2! + 1*1! = 3 
0312 4   0*3! + 2*2! + 0*1! = 4 
0321 5   0*3! + 2*2! + 1*1! = 5 
1023 6   1*3! + 0*2! + 0*1! = 6 
1032 7   1*3! + 0*2! + 1*1! = 7 
1203 8   1*3! + 1*2! + 0*1! = 8 
1230 9   1*3! + 1*2! + 1*1! = 9 
1302 10  1*3! + 2*2! + 0*1! = 10 
1320 11  1*3! + 2*2! + 1*1! = 11 
2013 12  2*3! + 0*2! + 0*1! = 12 
2031 13  2*3! + 0*2! + 1*1! = 13 
2103 14  2*3! + 1*2! + 0*1! = 14 
2130 15  2*3! + 1*2! + 1*1! = 15 
2301 16  2*3! + 2*2! + 0*1! = 16 
2310 17  2*3! + 2*2! + 1*1! = 17 
3012 18  3*3! + 0*2! + 0*1! = 18 
3021 19  3*3! + 0*2! + 1*1! = 19 
3102 20  3*3! + 1*2! + 0*1! = 20 
3120 21  3*3! + 1*2! + 1*1! = 21 
3201 22  3*3! + 2*2! + 0*1! = 22 
3210 23  3*3! + 2*2! + 1*1! = 23 
 
可以得出规律，比后面大的个数 * (i-1)! 
查询资料可知，此为[康托展开式]
答案：22952601027516 
*/  

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