全排列的编码与解码——康托展开

对于一个集合 {1,2,3，…，n}，很明显它有 n! 种全排列，
把它们全都按照字典序排好序（从小到大），对应顺序{1,2,3，…，n!}，
假如问你第X个全排列是什么，或者某个全排列在其中的序号是多少，可以利用康拓展开式来求。

康托展开式：

X = a[n]*(n-1)! + a[n-1]*(n-2)! + … + a[i]*(i-1)! + … + a[2]*1! + a[1]*0!

康托展开可以实现按字典序排序的序列与自然数之间相互对应的双射。

康拓编码

给出一个全排列数字，求出这个数是第几个全排列。

规则：

• a[n] 代表比处在第n位的数字小，并且在第n位前面没有出现过的数字的个数。（个位是第1位）
• X 代表比这个全排列的数字小的数的个数，意味着这个全排列排在第 X+1 位。

例子：
集合{1,2,3,4,5}，按照字典序排好它的全排列，问 45231 这个数字在排列中的序号是多少？

1、比数字4小的数有3个；
2、比数字5小的数有4个，但是4已经出现在前面了，所以只有3个；
3、比数字2小的数有1个；
4、比数字3小的数有2个，但是2已经出现在前面了，所以只有1个；
5、比数字1小的数有0个；

因此 X = 3*4! + 3*3! + 1*2! + 1*1! + 0*0!
　　　 = 72 + 18 + 2 + 1 +0
　　　 = 93
　　　

康托解码

给出一个序号y，求出对应这个序号的全排列是什么数字。

规则：
解码是编码的逆运算，假如这个数字的序号是y，那么比它小的数就有X=y-1个，然后分别求出每个位置的数字是多少。

例子：
集合{1,2,3,4,5}，按照字典序排好它的全排列，问第94个全排列是什么数？

首先 X = 94 - 1 = 93
1、93 / 4! = 3，余21。有3个数比它小的数字是4，所以排在第5位的数字是4；
2、21 / 3! = 3，余 3 。有3个数比它小的数字是4，但4已经有了，因此排在第4位的数字是5；
3、 3 / 2! = 1，余 1 。有1个数比它小的数字是2，所以排在第3位的数字是2；
4、 1 / 1! = 1，余 0 。有1个数比它小的数字是2，但2已经有了，因此排在第2位的数字是3；
5、 0 / 0! = 0，余 0 。有0个数比它小的数字是1，所以排在第1位的数字是1；

所以排在第94位的全排列是 45231 。

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next_permutation函数

next_permutaion函数是用来求比当前排列按字典序大的下一个序列。

规则：
1、首先从右往左遍历数组，找到从右开始第一个不按照升序排序的数字，记为 x；
2、再次从右往左遍历数组，找到第一个比 x 大的数字，记为 y；
3、然后对调 x 和 y 的位置；
4、最后将 y 之后的数字全部翻转。

例子：
比 6784321 大的下一个序列是什么？

1、首先从左往右，第一个不按照升序排序的数字是 x=7；
2、再次从左往右，第一个比 x 大的数字是 y=8；
3、然后对调 x 和 y，得到 6874321；
4、最后将 y 之后的数字全部翻转，得到 6812347。

所以 6812347 就是 6784321 的下一个序列。

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参考：
http://blog.csdn.net/scarecrow398966925/article/details/25543587
http://blog.csdn.net/scarecrow398966925/article/details/33727193