矩阵快速幂算法

矩阵快速幂就是用来快速的求取矩阵的高次方的算法。

它将普通的时间复杂度O(n)降到了log(n)。

按照常理来求A^7的话，那就是A*A*A*A*A*A*A来得到去我们想要的答案，但是如果要是求A^100000000次方呢，是不是顿时感觉不想算了（想算也算不了）。

这时我们就该想到矩阵的快速幂了。

矩阵的快速幂主要还是运用到计算机的二进制处理喽。

现在给个例子：

计算A^7，首先我们把幂变成二进制，那么A^7 = A^(111)2，这样我们就可以根据代码来进行理解了。

首先我们知道n = 7，base保存的就是矩阵A， res开始时赋为单位矩阵(单位矩阵为除了对角线都为1，其他都为0)。

while(n)
   {
        if(n&1) ///求n是不是偶数  等价于n%2==1
            mulit(res, base);
        mulit(base, base);
        n>>=1;  (也可以写成n/=2)
   }

执行过程就是：

res=1;base=A; 

N=7 ;N%2=1;   res*=base; 所以res=A;  base*=base; 所以base=A^2

然后 N/=2;N=3; N%2=1; res*=base; 所以 res=A*A^2=A^3 ; 又base*=base; 所以base=A^4

然后N/=2;N=1;N%2=1;res*=base; 所以 res=A*A^2*A^4=A^7;又base*=base; 所以base=A^8

然后N/=2;N=0;算法结束

关键代码：

void mulit(int a[][2], int b[][2])
{
    int temp[2][2];
    for(int i = 0; i < 2; i++)
    {
        for(int j = 0; j < 2; j++)
        {
            temp[i][j] = 0;
            for(int k = 0; k < 2; k++)
            {
                temp[i][j] += (a[i][k] * b[k][j]) % 10000;
            }
        }
    }
    for(int i = 0; i < 2; i++)
    {
        for(int j = 0; j < 2; j++)
        {
            a[i][j] = temp[i][j] % 10000;
        }
    }

}
int solve(int n)
{
    int base[2][2] = {{1, 1},{1, 0}};
    int res[2][2] = {{1, 0},{0, 1}};
    while(n)
    {
        if(n&1) ///求n是不是偶数  等价于n%2==1
            mulit(res, base);   ///在mulit中进行了对res数组的赋值
        mulit(base, base);
        n>>=1;
    }
    return res[0][1];
}

这样是不是就好理解了呢。

当然要更好的理解还是少不了根据题来理解。

推荐一道题：

http://poj.org/problem?id=3070

求斐波纳挈的n次幂。

根据矩阵快速幂来求：

AC代码：

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>using namespace std;void mulit(int a[][2], int b[][2]){    int temp[2][2];    for(int i = 0; i < 2; i++)    {        for(int j = 0; j < 2; j++)        {            temp[i][j] = 0;            for(int k = 0; k < 2; k++)            {                temp[i][j] += (a[i][k] * b[k][j]) % 10000;            }        }    }    for(int i = 0; i < 2; i++)    {        for(int j = 0; j < 2; j++)        {            a[i][j] = temp[i][j] % 10000;        }    }}int solve(int n){    int base[2][2] = {{1, 1},{1, 0}};    int res[2][2] = {{1, 0},{0, 1}};    while(n)    {        if(n&1) ///求n是不是偶数  等价于n%2==1            mulit(res, base);        mulit(base, base);        n>>=1;    }    return res[0][1];}int main(){    int t;    while(~scanf("%d",&t))    {        if(t==-1)            break;        int ans = solve(t);        printf("%d\n",ans);    }    return 0;}

本人菜鸟，暂时就理解这么多，欢迎来提意见。