非线性方程求根迭代法

一、写在前面

 实验目的

(1) 熟悉非线性方程求根简单迭代法，牛顿迭代及牛顿下山法
(2) 能编程实现简单迭代法，牛顿迭代及牛顿下山法
(3) 认识选择迭代格式的重要性
(4) 对迭代速度建立感性的认识；分析实验结果体会初值对迭代的影响

 实验内容

**本次实验参考公式**

二、实验过程
【参考代码】

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <math.h>double IterationFunction(double x)    //迭代函数{    return pow(x+1.0, 1.0/3);}double function(double x)    //原函数 f(x){    return x*x*x-x-1;}double derivativeFunction(double x)    //导函数 f'(x){    return 3*x*x-1;}double Iteration(double x0, double e, int N)    //一般迭代算法//输入参数： x0 初值， e 精度， N 最大迭代次数{    int k = 0;    //当前迭代次数    double x1;    //终值    printf("--------------------------一般迭代算法过程----------------------------\n");    printf("k = %d:    x%d = %lf\n", k, k, x0);    while(k < N)    {        x1 = IterationFunction(x0);        k++;        printf("k = %d:    x%d = %lf\n", k, k, x1);        if(fabs(x1-x0) < e)    //判断是否达到精度,满足要求结束程序，否则继续迭代            return x1;        x0 = x1;    }    return 0;    //迭代失败：迭代次数超过最大迭代次数，精度未达到要求}double AitkenAccelerate(double x0, double e, int N)    //Aitken加速算法//输入参数： x0 初值， e 精度， N 最大迭代次数、{    int k = 0;    double x1, x2, x3;    printf("--------------------------Aitken加速算法过程----------------------------\n");    printf("k = %d:   x%d=%lf\n", k, k, x0);    while(k < N)    {        x1 = IterationFunction(x0);    //迭代        x2 = IterationFunction(x1);    //迭代        x3 = x2 - (x2-x1)*(x2-x1)/(x2-2*x1+x0);    //改进        k++;        printf("k = %d:   x%d(-)=%lf,   x%d(~)=%lf,   x%d=%lf\n", k, k, x1, k, x2, k, x3);        if(fabs(x3-x0) < e)            return x3;        x0 = x3;    }    return 0;}double Newton(double x0, double e, int N)    //Newton算法{    int k = 0;    double x1;    printf("---------------------------Newton算法过程---------------------------\n");    printf("k = %d:    x%d = %lf\n", k, k, x0);    while(k < N)    {        if(0 == derivativeFunction(x0))    //分母不可为0            return -1.999999;     //导函数值为0，返回-1.999999作为错误标志        x1 = x0 - function(x0)/derivativeFunction(x0);     //使用Newton迭代函数        k++;        printf("k = %d:    x%d = %lf\n", k, k, x1);        if(fabs(x1-x0) < e)            return x1;        x0 = x1;    }    return 0;}double NewtonDown(double x0, double e, int N)    //Newton下山算法{    int k = 0;    double x1;    double down = 1.0;    //下山因子    printf("---------------------------Newton下山算法过程---------------------------\n");    printf("k = %d:    x%d = %lf\n", k, k, x0);    while(k < N)    {        if(0 == derivativeFunction(x0))    //分母不可为0            return -1.999999;     //导函数值为0，返回-1.999999作为错误标志        down = 1.0;        x1 = x0 - down*function(x0)/derivativeFunction(x0);     //使用Newton迭代函数        while(fabs(function(x1)) >= fabs(function(x0)))        {            down /= 2;    //下山因子减半            x1 = x0 - down*function(x0)/derivativeFunction(x0);        }        k++;        if(down <= 0.0000001)        {            printf("下山失败，没有找到合适的下山因子，请另选初值\n");            return 0;        }        printf("k = %d:    x%d = %lf, 下山因子 = %lf\n", k, k, x1, down);        if(fabs(x1-x0) < e)            return x1;        x0 = x1;    }    return 0;}int main(){    double answer;    answer = Iteration(0.6, 0.000001, 20);    //在此将迭代次数设置尽可能大，不考虑迭代失败的情况    printf("一般迭代算法求得最终结果： x = %lf\n\n", answer);    answer = AitkenAccelerate(1.5, 0.000001, 10);    printf("Aitken加速算法求得最终结果： x = %lf\n\n", answer);    answer = Newton(0.6, 0.000001, 20);    printf("Newton算法求得最终结果： x = %lf\n\n", answer);    answer = NewtonDown(0.6, 0.000001, 20);    printf("Newton算法求得最终结果： x = %lf\n\n", answer);    return 0;}

三、实验结果

四、写在后面
经历了几次有关数值分析的程序编写之后，有了一定的将数学知识转化为程序的能力，但是一些高级的算法还是得有较厚的数学功底，利用数学解决实际工程问题才是最终的目的，希望在这条道路上有所成长。