poj

来源：互联网发布：淘宝店运营方案编辑：程序博客网时间：2024/04/30 15:55

We say that integer x, 0 < x < p, is a primitive root modulo odd prime p if and only if the set { (xⁱ mod p) | 1 <= i <= p-1 } is equal to { 1, ..., p-1 }. For example, the consecutive powers of 3 modulo 7 are 3, 2, 6, 4, 5, 1, and thus 3 is a primitive root modulo 7.
Write a program which given any odd prime 3 <= p < 65536 outputs the number of primitive roots modulo p.

Input

Each line of the input contains an odd prime numbers p. Input is terminated by the end-of-file seperator.

Output

For each p, print a single number that gives the number of primitive roots in a single line.

Sample Input

Sample Output

欧拉函数：对正整数n，欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。例如euler(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。
Euler函数表达通式：euler(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…(1-1/pn),其中p1,p2……pn为x的所有素因数，x是不为0的整数。euler(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身）。
欧拉公式的延伸：一个数的所有质因子之和是euler(n)*n/2。
欧拉定理：对于互质的正整数a和n，有aφ(n) ≡ 1 mod n。
欧拉函数是积性函数——若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。
若n是质数p的k次幂，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。
特殊性质：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n)
欧拉函数还有这样的性质：
设a为N的质因数，若(N % a == 0 && (N / a) % a == 0) 则有E(N)=E(N / a) * a；若(N % a == 0 && (N / a) % a != 0) 则有：E(N) = E(N / a) * (a - 1)。
那么如何变成实现欧拉函数呢？下面通过两种不同的方法来实现。第一种方法是直接根据定义来实现，同时第一种方法也是第二种筛法的基础，当好好理解。
可以得到关于欧拉函数的递推关系：
假设素数p能整除n，那么
如果p还能整除n / p, PHI(n) = PHI(n / p) * p;
如果p不能整除n / p, PHI(n) = PHI(n / p) * (p - 1);

#include <iostream>#include<string.h>#include<cstdio>#include<algorithm>#include<queue>#include<cstdlib>#include<cmath>#define Max 1000001#define ll long longusing namespace std;//欧拉函数方法一：线性时间打表，但此时φ(p)=p-1//方法二：直接求解欧拉函数int euler1(int n){    int res = n, a = n;    for(int i=2; i<=sqrt(n);i++)    {        if(a%i==0)        {            res = res/i*(i-1);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出            while(a%i==0) a/=i;        }    }    if(a>1) res = res/a*(a-1);    return res;}int euler[Max];// O(MAX_N)时间筛出欧拉函数值的表void iii(){for (int i = 0; i < Max; ++i) euler[i] = i;for (int i = 2; i < Max; ++i){if (euler[i] == i){for (int j = i; j < Max; j += i)euler[j] = euler[j] / i * (i - 1);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出}}}int main(){    ll n;iii();    while(~scanf("%lld",&n))    {        cout<<euler1(n-1)<<endl;        //cout<<euler[n-1]<<endl;    }    return 0;}

触类旁通：http://poj.org/problem?id=2407

参考文章 http://blog.csdn.net/qq_27138357/article/details/47399683：：模板博客

http://www.hankcs.com/program/algorithm/poj-1284-primitive-roots.html

0 0