最小生成数prim算法理解
来源:互联网 发布:info.php探针漏洞 编辑:程序博客网 时间:2024/05/21 22:36
MST(Minimum Spanning Tree,最小生成树)问题有两种通用的解法,Prim算法就是其中之一,它是从点的方面考虑构建一颗MST,大致思想是:设图G顶点集合为U,首先任意选择图G中的一点作为起始点a,将该点加入集合V,再从集合U-V中找到另一点b使得点b到V中任意一点的权值最小,此时将b点也加入集合V;以此类推,现在的集合V={a,b},再从集合U-V中找到另一点c使得点c到V中任意一点的权值最小,此时将c点加入集合V,直至所有顶点全部被加入V,此时就构建出了一颗MST。因为有N个顶点,所以该MST就有N-1条边,每一次向集合V中加入一个点,就意味着找到一条MST的边。
用图示和代码说明:
初始状态:
设置2个数据结构:
lowcost[i]:表示以i为终点的边的最小权值,当lowcost[i]=0说明以i为终点的边的最小权值=0,也就是表示i点加入了MST
mst[i]:表示对应lowcost[i]的起点,即说明边<mst[i],i>是MST的一条边,当mst[i]=0表示起点i加入MST
我们假设V1是起始点,进行初始化(*代表无限大,即无通路):
lowcost[2]=6,lowcost[3]=1,lowcost[4]=5,lowcost[5]=*,lowcost[6]=*
mst[2]=1,mst[3]=1,mst[4]=1,mst[5]=1,mst[6]=1,(所有点默认起点是V1)
明显看出,以V3为终点的边的权值最小=1,所以边<mst[3],3>=1加入MST
此时,因为点V3的加入,需要更新lowcost数组和mst数组:
lowcost[2]=5,lowcost[3]=0,lowcost[4]=5,lowcost[5]=6,lowcost[6]=4
mst[2]=3,mst[3]=0,mst[4]=1,mst[5]=3,mst[6]=3
明显看出,以V6为终点的边的权值最小=4,所以边<mst[6],6>=4加入MST
此时,因为点V6的加入,需要更新lowcost数组和mst数组:
lowcost[2]=5,lowcost[3]=0,lowcost[4]=2,lowcost[5]=6,lowcost[6]=0
mst[2]=3,mst[3]=0,mst[4]=6,mst[5]=3,mst[6]=0
明显看出,以V4为终点的边的权值最小=2,所以边<mst[4],4>=4加入MST
此时,因为点V4的加入,需要更新lowcost数组和mst数组:
lowcost[2]=5,lowcost[3]=0,lowcost[4]=0,lowcost[5]=6,lowcost[6]=0
mst[2]=3,mst[3]=0,mst[4]=0,mst[5]=3,mst[6]=0
明显看出,以V2为终点的边的权值最小=5,所以边<mst[2],2>=5加入MST
此时,因为点V2的加入,需要更新lowcost数组和mst数组:
lowcost[2]=0,lowcost[3]=0,lowcost[4]=0,lowcost[5]=3,lowcost[6]=0
mst[2]=0,mst[3]=0,mst[4]=0,mst[5]=2,mst[6]=0
很明显,以V5为终点的边的权值最小=3,所以边<mst[5],5>=3加入MST
lowcost[2]=0,lowcost[3]=0,lowcost[4]=0,lowcost[5]=0,lowcost[6]=0
mst[2]=0,mst[3]=0,mst[4]=0,mst[5]=0,mst[6]=0
至此,MST构建成功,如图所示:
根据上面的过程,可以容易的写出具体实现代码如下(cpp):
Input:
Output:
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