数据结构——后缀树

1、简介

后缀树（Suffix tree）是一种数据结构，能快速解决很多关于字符串的问题。后缀树提出的目的是用来支持有效的字符串匹配和查询。

一个具有m个词的字符串S的后缀树T，就是一个包含一个根节点的有向树，该树恰好带有m个叶子，这些叶子被赋予从1到m的标号。 每一个内部节点，除了根节点以外，都至少有两个子节点，而且每条边都用$的一个非空子串来标识。出自同一节点的任意两条边的标识不会以相同的词开始。后缀树的关键特征是：对于任何叶子i，从根节点到该叶子所经历的边的所有标识串联起来后恰好拼出S的从i位置开始的后缀，即S[i,…,m]。树中节点的标识被定义为从根到该节点的所有边的标识的串联。

2、推导

虽说后缀树的概念独立于Trie的概念，但从Trie推出后缀树自然简洁，所以先简单解释一下Trie。“Trie”这个单词来自于"retrieve"，可见它的用途主要是字符串查询。不过词汇变迁多半比较诡异，Trie不发tree的音，而发try的音。

Trie是个简单但实用的数据结构，通常用于实现字典查询。我们做即时响应用户输入的AJAX搜索框时，就是Trie开始。本质上，Trie是一颗存储多个字符串的树。相邻节点间的边代表一个字符，这样树的每条分支代表一则子串，而树的叶节点则代表完整的字符串。和普通树 不同的地方是，相同的字符串前缀共享同一条分支。还是例子最清楚。给出一组单词，inn, int, at, age, adv, ant, 我们可以得到下面的Trie：

可以看出：  

1. 每条边对应一个字母。
2. 每个节点对应一项前缀。叶节点对应最长前缀，即单词本身。
3. 单词inn与单词int有共同的前缀“in”, 因此他们共享左边的一条分支，root->i->in。同理，ate, age, adv, 和ant共享前缀"a"，所以他们共享从根节点到节点"a"的边。
4. 查询非常简单。比如要查找int，顺着路径i -> in -> int就找到了。

      

搭建Trie的基本算法也很简单，无非是逐一把每则单词的每个字母插入Trie。插入前先看前缀是否存在。如果存在，就共享，否则创建对应的节点和边。比如要插入单词add，就有下面几步：

1. 考察前缀"a"，发现边a已经存在，于是顺着边a走到节点a。
2. 考察剩下的字符串"dd"的前缀"d"，发现从节点a出发，已经有边d存在，于是顺着边d走到节点ad。
3. 考察最后一个字符"d"，这下从节点ad出发没有边d了，于是创建节点ad的子节点add，并把边ad->add标记为d。

  

有了Trie，后缀树就容易理解了。先说说后缀的定义：给定一长度为n的字符串S=S1S2..Si..Sn，和整数i，1 <= i <= n，子串SiSi+1...Sn都是字符串S的后缀。以字符串S=XMADAMYX为例，它的长度为8，所以S[1..8], S[2..8], ... , S[8..8]都算S的后缀，我们一般还把空字串也算成后缀。对于后缀S[i..n]，我们说这项后缀起始于i，这样，我们一共有如下后缀：

1. S[1..8], XMADAMYX， 也就是字符串本身，起始位置为1。
2. S[2..8], MADAMYX，起始位置为2。
3. S[3..8], ADAMYX，起始位置为3。
4. S[4..8], DAMYX，起始位置为4。
5. S[5..8], AMYX，起始位置为5。
6. S[6..8], MYX，起始位置为6。
7. S[7..8], YX，起始位置为7。
8. S[8..8], X，起始位置为8。
9. 空字串。记为$。

而后缀树，就是包含一则字符串所有后缀的压缩Trie。把上面的后缀加入Trie后，我们得到下面的结构：

               

仔细观察上图，我们可以看到不少值得压缩的地方。比如蓝框标注的分支都是独苗，没有必要用单独的节点同边表示。如果我们允许任意一条边里包含多个字 母，就可以把这种没有分叉的路径压缩到一条边。另外每条边已经包含了足够的后缀信息，我们就不用再给节点标注字符串信息了。我们只需要在叶节点上标注上每 项后缀的起始位置。于是我们得到下图：

这样的结构丢失了某些后缀。比如后缀X在上图中消失了，因为它正好是字符串XMADAMYX的前缀。为了避免这种情况，我们也规定每项后缀不能是其它后缀的前缀。要解决这个问题其实挺简单，在待处理的子串后加一空字串就行了。例如我们处理XMADAMYX前，先把XMADAMYX变为XMADAMYX$，于是就得到后缀树了。

3、应用场景

后缀树有以下几种应用场景：

1. 在文本T里查询T是否包含子串P（复杂度同流行的KMP相当）。
2. 文本T里找出最长重复子串。比如abcdabcefda里abc同da都重复出现，而最长重复子串是abc。
3. 找出字符串S1同S2的最长公共子串。注意不是常用作动态规划例子的LCS哈。比如字符串acdfg同akdfc的最长公共子串为df，而他们的LCS是adf。
4.  Ziv-Lampel无损压缩算法。
5. 找出给定字符串里的最长回文。
6. 生物信息学里应该应用广泛。碱基匹配和选取的计算本质上就是操作超长的{C, T, A, G, U}*字符串嘛。