旋转卡壳——螺旋三角剖分

螺旋三角剖分

点集的螺旋三角剖分是基于集合螺旋凸包的三角剖分图。
凸螺旋线可以通过如下方法构造：

1. 从一个特定的端点开始（比如给定方向上的最小点）， 这里取有最小 x 坐标的点。
2. 通过那个点构造一条铅垂线。
3. 按照一个给定的方向旋转线（总保持顺时针或者是逆时针方向）， 直到线“击” 出另一个顶点。
4. 将两个点用一条线段连接。
5. 重复步骤3和步骤4， 但是总忽略已经击出的点。

大体上， 这个过程类似于计算凸包的卷包裹算法， 但是不同在于其循环永远不会停止。 对于一个凸包上有 h 个点的点集， 存在 2h 个凸螺旋线： 对于每个起点有顺时针和逆时针螺旋线两种。 
 

一个点集（左边）， 及其顺时针凸螺旋线， 以最小的 x 坐标点作为初始点。

有趣的是， 一个点集的凸螺旋线和洋葱皮可以在线性时间内相互转换。 进一步的， 类似于洋葱三角剖分， 我们可以定义一个点集的子图为凸螺旋线的螺旋三角剖分。

构造螺旋三角剖分的算法， 虽然是基于环面三角剖分的， 但是却更为复杂， 因为螺旋线必须被分割为合适的凸包链。 假设输入是一个点集的顺时针凸螺旋线 C ， 且有 C = { p1 , ... , pn } 。

1. 将凸螺旋线的边作为三角剖分的边插入。
2. 从 p1 开始， 寻找点集凸螺旋线上的最后一个点 ph 。
3. 延长凸螺旋线上的最后一条边 [p(n-1),pn] 直到其与凸螺旋线相交。 标记交点为 q' 。
4. 构造与 C 切于点 q' 的切线。 逆时针旋转那条线直到他与 C 相交于一点 q 并且平行于 [p(n-1),pn] 。
5. 将 [p(n-1),q] 插入三角剖分中。
6. 此操作后将凸螺旋链分割称了两个部分： 链外的部分和链内的多边形区域。 设 Co = { p1 , ... , q } 且 Ci = { ph , ... , q , ... , pn } 。 这个构造过程如下图所示：
    

   左上角： 构造过程。 右上角： 螺旋外和内部的多边形区域。 底部： 外部和内部的凸链 Co 和 Ci 。



7. 外部螺旋区域可以如环面一样进行三角剖分。 Co 和 Ci 此时可以被看成一个嵌套凸包。
8. 内部的多边形区域可以很容易的在 pn 处星型划分形成三角剖分。
9. 这两个三角剖分的组合构成了整个螺旋三角剖分的结构。

一个螺旋凸包的例子和其三角剖分如下所示：

 

上述的算法是线性时间复杂度的， 算法的时间依赖于环面剖分的运行时间。

 

 

原文地址：http://cgm.cs.mcgill.ca/~orm/sptri.html

 

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