差分约束简述

差分约束也是一个各种算法的综合，
它用于解一系列的不等式（表示成a-b<=(>=)c的形式，即差分）
例如：
已知一连串约束
（1）x1 - x0 <= 2
（2）x2 - x0 <= 7
（3）x3 - x0 <= 8
（4）x2 - x1 <= 3
（5）x3 - x2 <= 2
然后求x3-x0的最大值
通过整理，我们可以整理出：
1.（3） x3 - x0 <= 8
2.（2）+（5） x3 - x0 <= 9
3.（1）+（4）+（5） x3 - x0 <= 7
因为要满足以上三个不等式，
所以x3-x0最大只能取min{7,8,9}=7

易知，所有不等式都是
x[i]-x[j] <= a[k] 的形式，
也就是x[i] <= x[j] + a[k]
看起来特别熟悉，像是SPFA（最短路径算法）中的松弛操作，
于是用dis来代替x，用w[i,j]替换a[k]
那么就变成dis[i] <= dis[j]+w[i,j]，
而松弛操作则是若dis[i]>dis[j]+w[i,j]，更新最短路，
而dis[i] <= dis[j]+w[i,j]，即表示没必要进行松弛操作，也就是已经松弛完毕。
所以对于每个不等式x[i]-x[j] <= a[k]，即可以视成点j向点i连一条有向边，权值为a[k]
求x[i]-x[j]的最大值则可以换成多条i～j的路径的最小值，即最短路径。

所有差分约束便可以转化成最短路径问题，

利用SPFA算法来解决最短路径问题，时间复杂度仅为O(kn)(k约为2)

但众所周知，不可能一定有解，还有更多的情况，如果要求的i和j
不连通，即代表i和j之间没有约束，那么可以取到无限大值。

如果存在负环，则说明最短路无限小，即不存在最短路。
也就是最大值不存在。

同样的，
x[i]-x[j]>=a[k]的形式也可以用最长路模型来求，
原因就让读者们来思考一下吧～
但前提是：
无论你想求最小值还是最大值，符号都要化成一样的。

最后，如果这些变量都是整数域上的，那么”>”，”<”，这些原本不能用差分约束解决的，便可以解决例如：
A-B < C ,则A-B <= C-1
模型就综上所述了

不过oi中的题目就并没有那么赤裸裸了，都会有一些掩盖，你必须找到当中的约束
1.线性约束，最简单的约束
例题：POJ 3169
提示：设第x个人的位置为d[x]，那么。。（不透露）
别忘了相邻两点的约束关系

2.区间约束，关于区间的约束
例题：POJ 1201
提示：看起来貌似很复杂，但可以利用以前学过的前缀和方式来表示约束

3.未知条件的约束
例题：POJ 1275
提示：某些约束不等号右边的数不可知，那么就要通过二分答案的思想来寻找答案