正整数分解使得乘积最大问题

一、问题描述

设n是一个正整数。现在要求将n分解为若干个自然数之和，使得自然数的成绩最大。输出这个最大的乘积。

要求:

（1）要求这些自然数互不相同

（2）要求这些自然数可以是相同的

 

二、问题分析：

这类题一开始需要我们手写几个数来看看规律。先做第一问，要求自然数互不相同。从5开始写起，5=2+3，6=2+4，7=3+4，8=3+5，9=2+3+4，10=2+3+5，11=2+4+5

发现规律如下：

（1）尽量使得元素是连续的。

（2）如果有多出来的，从后往前均匀分配到各个元素。考虑到一种特殊情况，当多出来的数比前面已有元素的个数大1时（比如8的情况），先给已有元素的最大元素加1，然后再均匀分配到每个元素。

 

下面举个栗子，看看携程实习生招聘笔试的这道题：

题目描述：乘积最大

有一个整数n，将n分解成若干个不同自然数之和，问如何分解能使这些数的乘积最大，输出这个乘积m。

输入：

一个整数，不超过50

输出

一个整数

样例输入

15

样例输出

144

 

c++代码实现：

#include<iostream>#include<vector>using namespacestd; int main(){    int num;    while(cin>>num){        int flag[100] = {0};        int k=2;        int i=0;        while(num >= k){            //从2开始分解，依次分解为2，3，4，5...连续的元素            flag[i++] = k;            num -= k;            k++;        }        if(num > 0){            //说明有剩余的            if(num == flag[i-1]){                //说明这时候剩余的数正好比已有的元素个数多1，所以要先给最后一个元素加1                flag[i-1]++;                num--;            }            for(int j=i-1;j>=0 &&num>0;j--){                flag[j] ++;                num--;            }         }        int result = 1;        for(int j = 0;j<i;j++){            result *= flag[j];        }        cout<<result<<endl;    }//while    return 0;}

对于第二问，对于元素可以是相同的

仍然是通过手写几个数查看一下规律：4=2+2，5=2+3，6=3+3，7=3+2+2，8=3+3+2，9=3+3+3。

发现规律如下：

（1）元素不会超过4，因为4=2+2，又可以转化为2的问题，而5=2+3，5<2*3，所以5总能分解成2和3。

（2）尽可能多分解出3，然后分解出2，不要分出1。

考虑任意一个数，除以3之后的结果有以下3种：

（1）能被3除断，那么就分解为3+3+...+3的情况即可。例如9=3+3+3。

（2）被3除余1，分解为3+3+...+3+2+2或者3+3+...+3+4的情况，例如10=3+3+2+2

（3）被3除余2，分解为3+3+...+3+2的情况，例如11=3+3+3+2。

 

c++代码：

#include<iostream>#include<math.h>usingnamespace std; int main(){    int num;    while(cin>>num){        if(num % 3 == 0){   //考虑被3整除的情况            cout<<pow(3,num/3)<<endl;            continue;        }        int flag[100] = {0};        int i=0;        while(num != 2 && num != 4){            //如果不能被3整除，那么除3必余1或者2，而余1和4是同样的情况，这里取4是因为这种情况下最后是两个2，            //取4就可以直接把4分解为2+2            flag[i++]=3;            num-=3;        }        while(num){  //余2和1的情况，余2就是1个2，余1就是2个2，所以前面才会判断是否等于4，这样就可以化为2个2            flag[i++] = 2;            num-=2;        }        int result = 1;        for(int j=0;j<i;j++){            result *= flag[j];        }        cout<<result<<endl;    }//while    return 0;}