丘成桐谈数学

一、丘成桐：学数甘苦谈（来自浙江大学数学科学研究中心肖青 2004年10月）

学数甘苦谈

 

小学时的我，数学并不高明。对那些千篇一律的练习，更感到枯燥无味。这种情况一直维持到十三岁才有所改变──当我接触到平面几何，发现它能利用简单的公设来推导漂亮且复杂的定理后，实在令我心驰神往。我随即着手探讨这科目，尝试自己找出有趣的命题，然后利用这些公设加以证明，沉迷当中，其乐无穷。

 

我站在书店打书钉，读了不少书﹙当时的图书馆都很简陋﹚。渐渐地，我便学会了一些同学甚至老师都不懂的东西。我非常自豪，视之为自己的「秘密武器」。

 

有一次遇上一道作图题，题目规定只许用直尺和圆规来完成。我当时自持擅于此道，但花了超过半年工夫，还是毫无头绪，令我十分气馁。由于这不是如「三分等角」之类的标准题目，当时老师也帮不上忙。后来，我从日本数学家的著作中找到一条定理，方知道这种作图题是不可能完成的。这让我明了代数在解决古典平面几何难题中的威力，着实十分难忘。

 

这件事也告诉我读课外书的好处。当时我上的中学，其数学水平可说是数一数二的了，但我有强烈的求知欲，想获得超出课本水平的知识，我只好到图书馆找书自我进修。当时在图书馆中找好书不易，加上读书时无人请教，令我举步维艰。很多时书读上三遍，犹有不明白之处，但我总觉获益良多。

 

书读的愈多，我便渐渐地把所读的融会贯通。当需要用到某些概念时，以前不甚了了的，现在突然都变得一清二楚，明白不过。这些年来，在研究生涯中，类似的情况屡见不鲜。

 

我个人的经验是，不妨对有兴趣的科目多加研习，且不要理会有没有立竿见影的好处。我研习几何后，便考虑涉猎其它数学科目，但发现它们不像平面几何那样建基于公设。我心中感到不是味儿，因为我相信所有数学都应该是百分之百严谨的。及至进了大学，学习了狄狄金分割及其它构造法后，我才理解到整个数学的建构，是如此的美轮美奂。

 

虽然我素来对研究数理逻辑，并不热衷，但数学简约严谨之美，实在令人动容，赞叹无已。所以，我对投身数学研究，无悔无憾。为追求学问之纯美而工作，是许多科学家的原动力。我想每一个优秀的学生，都应该感受到科学的魅力吧。

 

我在香港时，苦无机会亲炙数学大师。在1969年到柏克莱后，情况便明显改善过来。我对数学的体会，作了一百八十度的转变，对学问的鉴赏能力也大大提高，此实有赖于周遭的科学家。正如鱼儿在水，或困在浅沼，或游于大洋，其眼界何啻天壤！要成为一流的科学家，必须为大科学家所熏陶，此点极为要紧。毕竟与世隔绝，而能成就大学问者，古今罕有。为此之故，凡有科学大师演讲，我都抓紧机会，出席细听。

 

以上便是个人的一些体会。我非天资卓绝，但福至心灵，选对了人生的道路，有所成就，实乃至幸。

 

二、丘成桐：数学的内容、方法和意义（在北大百周年校庆学术报告会上的演讲）

    今天要讲的是数学的内容、方法和意义，这原是苏联人写的一本书的书名，和今天的演讲内容借过来作为演讲的名称。

    今天是北大百周年校庆，五四运动便是北大学生发动的。作为演讲的引子，让我们先简略地回顾一下“五四”前后中西文化之争。十九世纪中业以后，中国对西文科技的认识，是“船竖炮利”，在屡次战争失利后，张之洞提出了“中学为体、西学为用”的主张，即以传统儒家精神为主，加入西方的技术。到了五四运动前后便有了科玄论战。以梁漱溟为主的一派以东方精神文明为上，捍卫儒学，以为西方文明强调用理性和知识去征服自然缺乏生命之道，人变成机械的奴隶；而中国文化自适自足，行其中道，必能发扬光大。其时正值第一次世界大战结束，西方哲学家罗素等对西方物质文明深恶痛绝，也主张向东方学习。另一派以胡适为首者则持相反意见，他们以为在知识领域内科学万能，人生观由科学方法统驭，未经批判及逻辑研究的，皆不能成为知识。

    科玄论战最终不了了之，并无定论。两派对近代基本科学皆无深究，也不收集数据,理论无法严格推导，最后变得空泛。其实这便是中国传统文化之一特点。一方面极抽象，有质而无量，儒道皆云天人合一，禅宗又云不立文字，直指心性。另一方面则极实际，庄子说“蔽于天而不知人”。古代的科学讲求实用，一切为人服务，四大发明之一指南针、造纸、印刷术、火药莫不如此。要知道西方技术之基础在科学，实际和抽象的桥梁乃是基本科学，而基本科学的工具和语言就是数学。

    历代不少科学家对数学都有极高的评价。我们引一些物理学家的话作为例子。R.Feyman在「物理定律的特性」一书中说我们所有的定律，每一条都由深奥的数学中的纯数学来叙述，为什么？我一点也不知道。E.Wigner说数学在自然科学中有不合常理的威力。FDyson说：在物理科学史历劫不变的一项因此,就是由数学想像力得来的关键贡献，基本物理既然由高深的数学来表示。应用物理，流体等大自然界的一切现象，只要能得到成熟的了解时，都可以用数学来描述。写过「湖滨散记」的哲人梭罗也说有关真理最明晰，最美丽的陈述，最终必以数学形式展现。

    其实数学家不只从自然界吸收养分，也从社会科学和工程中得到启示。人类心灵中由现象界启示而呈现美的概论，只要能够用严谨逻辑来处理的都是数学家研究的对象。数学和其他科学不同之处是容许抽象，只要是美丽的，就足以主宰一切，数学和文学不同之处是一切命题都可以由公认的少数公理推出。数学正式成为系统性的科学始于古希腊的欧机里德，他的「几何原本」是不朽名作。明末利玛窦和徐光启把它译成中文，并指出“十三卷中五百余题，一脉贯通，卷与卷，题与题相结倚，一先不可后，一后不可先，累累交承渐次积累，终竟乃发奥微之义”。复杂深奥的定理都可以由少数简明的公理推导，至此真与美得到确定的意义，水乳交融，再难分开。值得指出，欧机里德式的数学思维，直接影响了牛顿在物理上三大定律的想法，牛顿距著「自然哲学的数学原理」与「几何原本」一脉相承。从爱因斯坦到现在的物理学家都希望完成统一场论，能用同一种原理来解释宇宙间的一切力场。

    数学的真与美，数学家的体会深刻。Sylvester说“它们揭露或阐明的概念世界，它们导致的对至美与秩序的沉思，它各部分的和谐关联，都是人类眼中数学最坚实的根基”。数学史家M.Kline说“一个精彩巧妙的证明，精神上近乎一首诗”。当数学家吸收了自然科学的精华，就用美和逻辑来引导，将想像力发挥的淋漓尽致，创造出连作者也惊叹不已的命题。大数学家往往有宏伟的构思，由美作引导，例如Weil猜想促成了重整算数机何的庞大计划，将拓扑和代数几何融入整数方程论中。由A.Grothendieck和P.Deligne完成的Weil猜想，可说是抽象方法的伟大胜利。回顾数学的历史，能够将几个不同的重要观念自然融合而得出的结果，都成为数学发展的里程碑。爱因斯坦将时间和空间的观念融合，成为近百年来物理学的基石；三年前A.Wiles对自守型式和Fermat最后定理的研究，更是扣人心魄。数学家能够不依赖自然科学的启示得出来的成就，令人惊异，这是因为数字和空间本身就是大自然的一部分，它们的结构也是宇宙结构的一部分。然而，我们必须紧记，大自然的奥秘深不可测，不仅仅在数字和空间而已，它的完美无处不在，数学家不能也不应该抗拒这种美。

     本世纪物理学两个最主要的发现：相对论和量子力学对数学造成极大的冲击。广义相对论使微分几何学“言之有物”，黎曼几何不再是抽象的纸上谈兵。量子场论从一开始就让数学家迷惑不已，它在数学上作用仿如魔术。例如Dirac方程在几何上的应用使人难以捉摸，然而它又这么强而有力地影响着几何的发展。超对称是最近二十年物理学家发展出来的观念，无论在实验或理论上都颇为诡秘，但借着超弦理论的帮助，数学家竟能解决了百多年来悬而未决的难题。超弦理论在数学上的真实性是无可置疑的，除非造化弄人，它在物理上终会占一席位。

    上世纪末数学公理化运动使数学的严格性坚如盘石，数学家便以为工具已备，以后工作将无往而不利。本世纪初Hilbert便以为任何数学都能用一套完整的公理推导出所有的命题。但好景不常，Godel在931年发表了著名的论文“「数学原理」中的形式上不可断定的命题及有关系统I”。证明了包含着通常逻辑和数论的一个系统的无矛盾性是不能确立的。这表示Hilbert的想法并非是全面的，也表示科学不可能是万能的。然而由自然界产生的问题，我们还是相信Hilbert的想法是基本正确的。

数学家因其品禀各异，大致可分为下列三种：

(一)创造理论的数学家。这些数学家工作的模式，又可粗分为七类。

●从芸芸现象中窥见共性。从而提炼出一套理论，能系统地解释很多类似的问题。一个明显的例子便是上世纪末Lie在观察到数学和物理中出现大量的对称后，便创造出有关微分方程的连续变换群论。李群已成为现代数学的基本概念。


●把现存理论推广或移植到其它结构上。例如将微积分由有限维空间推广到无限维空间，将微积分用到曲面而得到连络理论等便是。当Ricci,Christofel等几何学家在曲面上研究与座标的选取无关的连络理论时，他们很难想像到它在数十年后的Yang-Mills场论中的重要性。


●用比较方法寻求不同学科的共同处而发展新的成果。例如：Weil比较整数方程和代数几何而发展算数几何：三十年前Langlands结合群表示论和自守形式而提出“Langlands纲领”，将可以交换的领域理论推广到不可交换的领域去。


●为解释新的数学现象而发展理论。例如：Gauss发现了曲面的曲率是内蕴（即仅与其第一基本形式有关）之后，Riemann便由此创造了以他为名的几何学，成就了近百年来的几何的发展；H.Whitney发现了在纤维丛上示性类的不变性后，Pontryagin和陈省身便将之推广到更一般的情况，陈示性类在今日已成为拓扑和代数几何中最基本的不变量。


●为解决重要问题而发展理论。例如J.Nash为解决一般黎曼流形等距嵌入欧氏空间而发展的隐函数定理，日后自成学科，在微分方程中用处很大。而S.Smale用h-协边理论解决了五维或以上的Poincare猜想后，此理论成为微分拓扑的最重要工具。


●新的定理证明后，需要建立更深入的理论。如Atiyah-Singer指标定理，Donaldson理论等提出后，都有许多不同的证明。这些证明又引起重要的工作。


●在研究对象上赋予新的结构。Kahler在研究复流形时引入了后来以他为名的尺度；近年Thurston在研究三维流形时，也引进了“几何化”的概念。一般而言，引进新的结构使广泛的概念得到有意义的研究方向。有时结构之上还要再加限制，如Kahler流形上我们要集中精神考虑Kahler-Einstein尺度，这样研究才富有成果。


（二）从现象中找寻规律的数学家。这些数学家或从事数据实验，或在自然和社会现象中发掘值得研究的问题，凭着经验把其中精要抽出来，作有意义的猜测。如Gauss检视过大量质数后，提出了质数在整数中分布的定律；Pascal和Fermat关于赌博中赔率的书信，为现代概率论奠下基石。五十年代期货市场刚刚兴起，Black和Scholes便提出了期权定价的方程，随即广泛地应用于交易上。Scholes亦因此而于去年获得诺贝尔的经济学奖。这类的例子还有很多，不胜枚举。

    话说回来，要作有意义的猜测并非易事，必须对面对的现象有充分的了解。以红楼梦为例，只要看了前面六七十回，就可以凭想像猜测后面大致如何。但如果我们对其中的诗词不大了解，则不能明白它的真义。也无从得到有意义的猜测。


（三）解决难题的数学家。所有数学理论必须能导致某些重要问题的解决，否则这理论便是空虚无价值的。理论的重要性必与其能解决问题的重要性成正比。一个数学难题的重要性在于由它引出的理论是否丰富。单是一个漂亮的证明并不是数学的真谛，比如四色问题是著名的难题，但它被解决后我们得益不多，反观一些难题则如中流砥柱，你必须将它击破，然后才能登堂入室。比如一日不能解决Poincare猜测，一日就不能说我们了解三维空间！我当年解决Calabi猜测，所遇到的情况也类似。

    数学家要承先启后，解掉难题是“承先”，再进一步发展理论，找寻新的问题则是“启后”。没有新的问题数学便会死去，故此“启后”是我们数学家共同的使命。我们最终目标是用数学为基础，将整个自然科学，社会科学和工程学融合起来。

    自从A Wiles在1994年解决了Fermat大定理后，很多人都问这有什么用。大家都觉得Fermat大定理的证明是划时代的。它不仅解决了一个长达350年的问题，还使我们对有理数域上的椭圆曲线有了极深的了解；它是融合两个数论的主流——自守式和椭圆曲线——而迸发出来的火花。值得一提的是，近十多年来椭圆曲线在编码理论中发展迅速，而编码理论将会在电脑贸易中大派用场，其潜力无可估计。

    最后我们谈谈物理学家和数学家的差异。总的来说，在物理学的范畴内并没有永恒的真理，物理学家不断努力探索，希望能找出最后大统一的基本定律，从而达到征服大自然的目的。而在数学的王国里，每一条定理都可以从公理系统中严格推导，故此它是颠扑不破的真理。数学家以美作为主要评选标准，好的定理使我们从心灵中感受大自然的真与美，达到“天地与我并生，万物与我为一”的悠然境界，跟物理学家要征服大自然完全不一样。

    物理学家为了捕捉真理，往往在思维上不断跳跃，虽说是不严格和容易犯错，但他们欲能把自然现象看得更透更远，这是我们十分钦佩的。毕竟数学家要小心奕奕、步步为营，花时间把所有可能的错误都去掉，故此这两种做法是互为表里，缺一不可的。

    在传统文化中，我们说立德，但即从不讨论如何求真，不求真，则何以立德？我们又说“温柔敦厚，诗教也”，但只是含糊的说美，数学兼讲真美，是中华民族需要的基本科学。 起，”他说：“数学界为你们二位所做的工作感到骄傲。它表明数学这棵长满节瘤的老树仍然充满着汁液和生机。你们是怎样开始的，就怎样继续下去吧！”

    从一九五八年起，改成每位获奖者分别由一位数学家介绍。介绍的内容比较地局限于工作， 对于获奖者个人的情况很少涉及。这个做法，一直延续到最近一次大会。


三

    菲尔兹奖只是一枚金质奖章，与诺贝尔奖金的十万美元相比真是微不足道。为什么在人们心目中，菲尔兹奖的地位竟然与诺贝尔奖金相当？

    原因看来很多。菲尔兹奖是由数学界的国际学术团体——国际数学联盟，从全世界的第一流数学家中遴选的。就权威性与国际性而言，任何其他的奖励都无法与之相比。菲兹奖四年才发一次，每次至多四名，因而获奖机会比诺贝尔奖要少得多。但是主要的原因应该是：迄今为止的获奖者用他们的杰出工作，证明了菲尔兹奖不愧为最重要的国际数学奖。事情就是这样：从表面上看，一项奖赏为获奖人带来了巨大荣誉；而事实上正相反，正是得奖工作的水准奠定了这项奖励的学术地位的基础。

    菲尔兹奖首先是一项工作奖（这一点与诺贝尔奖金相同），即授予的原因只能是“已经做出的成就”，而不能是服务优秀、活动积极等其他原因。但是菲尔兹奖只授予四十岁以下的数学家（起先是一种默契，后来就成为不成文的规定），因此也带有一点鼓励性。问题在于，如果放在整个数学家的范围里，菲尔兹奖的得奖工作地位如何？

    我们只举一个小小的例子。一九七八年，当代著名的老一辈数学家，布尔巴基学派创始人之一丢东涅发表了一篇题为《论纯数学的当前趋势》的论文，对于近二十年来纯数学各分支的前沿作了全面概述。在文章中，他列举了十三个目前处于主流的数学分支。其中十二个分支中的部分重要工作是由菲尔兹奖获得者作出的。这再清楚不过地说明了菲尔兹奖获奖成就的地。


四

    人们不能不承认，数学对于现实生活的影晌正在与日俱增。许多学科都在悄悄地或先或后地经历着一场数学化的进程。现在，已经没有哪个领域能够抵御得住数学方法的渗透。

   数学本身也在一日千里地发展着。全世界成千上万的数学工作者正在几十个分支成百个专门方向上孜孜研究着。他们每年提出大约二十万条新定理！重要论文数，如以《数学评论》的摘要为准，每八至十年翻一番。文献数量的爆炸再加上方法概念的迅速更新，使得工作在不同方向上的数学家连交谈也有点困难，更不用说非数学专业的人了。

    这样就产生了一个尖锐的矛盾。一方面，公众非常需要数学，他们渴望理解数学！另—方面，现代数学过于深刻、庞大、变得越来越不容易接近。

    因此，对于数学，特别是现代数学加以普及，使得数学和数学家的工作能对现实生活产生应有的积极影响，这已成为人们日益重视的课题。

    二十一世纪的曙光即将普照全球，要概述一下二十世纪的数学发展决非易事。就纯粹数学而言，我们觉得有两个主题可以起到提纲挈领的作用：一个是希尔伯特二十三问题的提出、解决现状与发展，另一个就是菲尔兹奖的获奖者及其工作。

   作为一种表彰纯数学成就的奖励，菲尔兹奖当然不能体现现代数学的全部内容。就这个奖本身而言也有种种缺点。但是，无论从哪一方面讲，菲尔兹奖的获得者都可以作为当代数学家的代表，他们的工作所属的领域大体上覆盖了纯粹数学主流分支的前沿。这样，菲尔兹奖就成了一个窥视现代数学面貌的很好的“窗口”。

 

三、丘成桐：我研究数学的经验
1997年6月9日于
新竹交通大学应用数学系
主持人林松山致辞：
今天我们非常高兴能够请到丘成桐院士来演讲，不是讲深奥的数学而是讲怎么去做深奥
的数学，好的数学。这讲题是"我研究数学的经验"，是丘院士研究数学的经验，我们欢
迎丘院士。
今天林松山叫我讲关于应用数学的问题，我想一想，讲做学问的经验也好。因为我来台
湾也差不多五年了，我想很多研究人员做研究的方法并不见得是最好，尤其是我觉得很
多年轻人员为什么在国外能够念的好？这是很值得思考的。 所以，我想讲讲我自己的经
验，或是我对数学的看法，让大家参考一下。
我想第一讲是最重要的当然是要有热忱，最主要的就是求真的精神，是始终要培养的。
我们做学问是为了求真，无论是对自然界的了解或是从数学方面来讲，我们有不同的观
念，可是真跟美就数学来讲是最重要的。追求真跟美的热忱很重要，因为我们整个做学
问的路上要碰到很多不同的困难，假如我们没有热忱的话，就没有办法继续下去。所以
追求学问的最崇高目标，无过于真跟美，追求的目标无误，热情才不会熄减。我们非想
办法培养自己对追求学问的热忱不可。几天我在去看我父亲的遗作，其中有屈原：
路漫漫其修远兮，余将上下而求索。
做学问的路很长很远，我们一定要看得很远，因此我们要上下去求索，要想尽办法去求
真。怎么去找真跟美，能够始终不断的坚持下去，这是成功的一个很重要因素，如果没
有热忱的话，就永远达不到做大学问的地步。我们再举一个国外的例子，在一个有组织
的系统里，我们的竞争很厉害，尤其在物理方面或其它实验科学方面的研究，真是分秒
必争；有一个题目刚好出来的时候，大家晓得其他人也会做这个问题，很多post docto
r 或者是faculty 聚在一起往往工作到深夜，甚至整个晚上不睡觉。这上面当然有一个
竞争性在里面，就是希望达到一个目标，比人家快了一点；可是另一方面也是因为求真
的热忱很大，刺激着我们使我们不肯放松。否则的话，很多有tenure 的faculty，没有
必要这样拼命，可是很多faculty 还是愿意这样子作，我想热忱很重要。我们要晓得，
作研究的路是很远的，我们要在中间低潮的时候还能够坚持做下去。很多作研究的人，
他往往觉得若不在中心的地方，他不敢去做。有些人去到过最好的地方，他也不敢去碰
难的题目。这有很多不同的原因，等一下我们再慢慢谈，可是一个最要紧的我想是基本
的功夫要做好。基本功夫没做好往往会出现上述问题。中学的时候，大学的时候或者在
研究院作研究生的时候，很多基本功夫都要培养，很多学生在年轻的时候不将基本功夫
做好，以后做研究就很吃力。
交通大学着重应用数学，可是我们晓得应用数学主要的工具是从纯数学来的；很多的学
生人认为既然是应用数学就不用学纯数学或者是应用物理就不必学基本的物理，这是很
大的错误。很多基本的功夫非在作学生的时候学不可，为什么呢？我们要做习题，并且
要大量的去做，这是学习基本功夫的必要过程。我想很多现在毕了业拿了博士学位的人
看一本书的时候不再去做习题。遇到一些比较复杂计算的时候往往不愿意去算，可是很
多基本的想法就是要从计算里面领会得来的。我们所做的命题，最后的时候可能留下很
简单很漂亮的结果，可是中间往往要花大量的计算我们才晓得这结果是怎么得到的。做
好的研究不是一朝一夕得来的，往往做了一百次，九十九次是错的，最后一次是成功的
。但成功的时候，我只跟你讲成功的结果，不会跟你讲九十九次失败的经验。错误的经
验往往是很好笑的，因为经常犯很明显的错误，要在做完的时候才知道。可是当讲给人
家听的时候很少会跟人家讲错误的那部分，其实做错误的结果让你眼睛明亮，它帮你忙
，让你向前走。其实你能做错的结果，已经是很不错的了，因为很多初学的人连怎么进
去做这个题目都不能够做到。譬如来讲，你给我一个化学上的问题，我从什么地方开始
做我都不晓得，因为我没有这基本的功夫，我根本不晓得要从什么地方开始。
一个好的数学家至少要能够掌握两门以上很基本的功夫。基本功夫不是一朝一夕学来的
。譬如讲，有代数的方法、有分析的方法、有几何的方法等种种不同的方法，我们在中
学的时候就开始学。有些人喜欢几何，觉得代数没有什么意思不想学，或者是学代数的
人不想学几何，各种想法都有，可是最后我们发现真的做研究的时候全部都要用到。有
人说我只做一个特殊的题目就永远只去做这方面的题目，结果连这方面的问题也不见得
做得好。因为数学的发展是不停地在改变，不断地在改变。自然界能够提供给我们的问
题，不会因为你是几何学家就继续不断的提供几何方面的问题，而往往是与几何结合在
一起的问题。到了题目来的时候，要用到其它工具，我没办法去了解，我就比其他人吃
亏了。例如，很重要的一门"群表示理论"，一般来讲很多地方不教这门课，可是在应用
科学或者理论科学要用到，"群表示理论"在物理也要用到。有些好的数学家可以很技巧
地运用"群表示理论"分析很多问题。我们可能没有这些办法，这就是因为我们基本功夫
没有做好的缘故。我想"群表示理论"大概是进了研究院或者大学后半期的时候学的。中
国数学家在这方面的训练不够，因此不如国外学者，可见有些基本学科一定要学好，同
时要很早就学。我们学数学的不单是要学数学上的基本功夫，在物理上的基本功夫也要
学，这是在大学时就要学的。力学、电磁学我们都要有一定的了解，因为物理跟数学这
几十年来的发展越来越接近，很多问题是从物理上提供的。我们假如对这些基本的观念
完全不认得的话，我们看到题目就比不上其他懂得这方面的数学家，能够很快的融会贯
通。到了这个年代，很多的数学的问题往往是从其他的学问如理论物理、应用数学或其
它的科学里来的，他们甚至提供intuition和方法。我们想了很久的一些问题，往往因此
得到了解决，假使我们从来都不接触其他科学的话，就完全落伍了。举个例子来讲，代
数几何学家这二十年来已有长远的发展。可是到了这几年来用古典的方法或者纤维丛的
方法，都没有办法解决的问题，结果从理论物理帮助我们看到以前看不到的可能。由于
本身知识的局限，很多代数几何学家遇到这个困难的时候没有办法接受这些专家的看法
，遇到理论物理就不敢去碰它。可是物理提供了，解决了我们基本问题的方向，代数几
何学又觉得很难为情， 因为他们没有办法去了解，所以这是一个很困扰的问题. 假使你
不肯学物理学上的基本功夫，你就很难接受这个新的挑战。记得我看过一本书, 序言里
讲作者很感谢代数学家Albert，他为什么感激他呢？他说Albert教我代数，使得我坐下
来的时候，看代数问题不会恐慌，使我能够坐下来好好地对待代数上的问题。就是讲我
们基本功夫能不能做到如此，我坐下来，看到几何问题或应用数学的问题，可不可以坐
下来就想个办法来对付他，我想这是很重要的。我们往往看到问题，坐下来的时候，恐
慌的不晓得怎么办，因此就算了，我想大家都有这个经验。你做基本功夫一定要做到你
看一个题目，明明是unknown、unsolved的问题，你还是可以坐下来，然后花工夫去解决
它。即使你不能够解决它，可是你至少晓得怎样去想办法，同时不会恐慌、放弃，我想
这是最重要的。往往我们因为基本功夫没做好，当一个深的题目或看法出现的时候，我
们就拒绝去接受，认为这些题目不重要，这是去解释自己为什么不能够去做某一个问题
的时候最自然的方法。训练基本功夫要在研究生、大学生或中学生的时候。基本功夫怎
样学好呢？有时看一本书完了就放在一边，看了两、三本书后就以为懂了，其实单看书
是不够的，最重要的是做习题，因为只有在做习题的工夫里面你才能晓得什么命题你不
懂，也理解到古人遇到的困难在那里。习题不单在课本里找，在上课和听seminar时也可
以找。我们很多学生上课的时候不愿意去写笔记，不作笔记的话根本不可能去念任何学
科。尤其是有时候演讲的人讲的题目是根本不在书本里的，或者是还没有发表的。我常
觉得很奇怪,为什么学生不去作笔记，他认为他懂了，其实明明不懂。因为可能连讲课的
人自己都还没搞懂，可是听讲的人不愿意去作笔记，也不会去跟演讲的人谈，也不会去
跟其他老师讨论。往往你花了一个钟头在那边听，听完了以后就全部忘掉了。因为你没
有一个写下的笔记可以温习，怎么可能不忘掉呢？另一个训练基本功夫就是要找出自己
最不行的地方在哪里。我们来看"群表示理论"的时候，我们有一大套理论。单看理论是
不够的，在应用时往往要知道群表示怎么分解的，你不能够将它写下来则理论对你一点
好处都没有。又例如一个方程式的估计问题，你有没有办法瞭解其中的方法，就全靠你
实际计算经验，不光念一两本书就足够的。举例来说，我的儿子最近刚学因式分解这个
问题，老师教他一大堆怎么分解整数方程的问题。他学了。也学得很好，也学了怎么找
根的方法。可是有一次考试是他不知道怎么因式分解？我跟他说，你明明晓得怎么找根
，为什么不能够因式分解？主要是他学的时候没想到找根跟因式分解是同一件事情。问
题就在于训练基本功夫的时候，要去想清楚数学命题间的关系，了解清楚为什么要解这
些命题。我们去看很多人写以前人的事，写了很多很漂亮的介绍和批评。可是你自己没
有经历过这一条路的话，你事实上很难了解困难在什么地方，为什么人家会这样子想。
要得到这个经验，不单要做习题，还要做比较困难的习题。做困难的习题有什么好处呢
？困难的习题往往是几个比较基本的问题的组合。我自己看书的时候，常常会一本书一
下子就看完了，觉得很高兴，因为看完了；可是重新再看，反而什么都不懂。我想大家
都有这个经验，主要的原因是什么呢？我们没有学好这学科，做比较困难的题目的时候
，你就会发觉会遇到困难。尤其是我们做一些题目的时候，往往就觉得似是而非，在脑
子里面想，以为已经懂了、可以解决了、就一厢情愿的很快的解决它，很快的看完那一
本书，事实上这是欺骗自己，也不是训练基本功夫的方法。一个好的题目，你应当坐下
来用笔写下来一步一步地想，结果你会发现很多基本的步骤你根本没有弄清楚。当你弄
清楚的时候，你去看你以前需要的定理在那里、怎么证的、我想你会慢慢了解整个学问
的精义在哪里。所以说，动笔去做题目是很重要的，我们做大学生的时候还愿意做这个
事，往往做研究生的时候，就以为了不起，毕业以后更不用讲，不会动手去写。一个题
目在那里，我们很了不起地以为自己懂了，有些是很明显，但有些是似是而非，好像差
不多了，事实上不是，里面有很多巧妙在里面。我们一定要动手去做，当你在一门课里
面，基本功夫搞得很清楚以后，你就发现书里面很多是错的。 在发现书本里的错误时，
你的基本功夫也不错了。我们这个时代的学生不看课外书，连本身的教科书也不看，很
使人失望。做研究大家晓得，自己要去找自己的思路。单单上课听听，听完以后不看书
，做几个习题就算了，怎么用都做不好。因为你没有想自己的思路要怎样子走。我做大
学生刚开始第一年半的时候，因为刚开始将数学严格化，我觉得很高兴。因为从整个lo
gic看去，可以一点一点地推导，从前有些几何或分析上的问题，我觉得可以慢慢将它连
起来，我觉得很高兴。我讲这个事情是什么原因呢？我觉得现在很多大学生或研究生对
于宏观的数学看法并不热情。就想课本上有题目拿来，能够做完它，你就觉得很高兴。
你没有整体地去想整个数学、或者整个几何、或者整个代数，我们须要研究的是什么事
情？我们须要追求的是什么对象？我想去考虑这些事情其实并不会花你太多时间，可是
你要有一个整体性的想法。整体性的想法是非要有基本功夫不可，就算很琐碎的事情你
都要晓得以后，才能对整个科学有一个基本的看法、一个大范围的看法。现在谈谈我个
人的经验，我记得我念中学的时候我学了平面几何。大家都晓得平面几何很漂亮，我觉
得很有意思。书本上的平面几何的问题大概我都懂得怎么做。可是我觉得还是不太够，
所以我将很多基本的问题连在一起，之后开始慢慢想。去发现一些书本没有的问题，去
想书本的方法能够有什么用处，是不是大部分平面几何上的问题都可以解决？我想找一
些命题是这些方法没有办法解决的。我记得我初中的时候想过一个问题，我发觉没有办
法去解决它。花了很多工夫去想，看了很多课外的书来帮忙，最后很高兴地找到一个本
书讲那个问题不可能用圆规和直尺来解决，可以用代数的方法来证明。因为经过很多不
同的想法，有半年的工夫，完全不晓得圆规和直尺解决不了这个问题，因此看到人家将
这个问题解释清楚，就觉得很高兴；那时候是中学生，没有了解Galois理论，所以还是
不太搞清楚是怎么证明的。可是我至少晓得有问题是不能用圆规和直尺解决的。也因为
经过很长的思考，所以我开始对这类问题的了解清楚得多。也开始欣赏到做数学的精义
。我想我们做一个习题或研究，我们最好花些工夫去想想着整个问题的来龙去脉，也多
看一些参考书，这对你的帮助很大。因为数学无非是很多方法放在一起解决很多不同的
问题。这是一个工具，我们了解一下这整个方法的局限，对基本功夫有很大的帮忙。基
本功夫是一个工具，不是一个终点，是一个起步。基本功夫没搞清楚的话，没有办法去
讲某个学问好，某个学问不好。记得从前在香港念大学的时候，当时的环境比现在差得
很多，图书馆根本没有什么书，也没有什么很好的导师，但是还是看了很多课外书，也
看了很多文章。但现在看来浪费了很多精力，这是眼界太浅，坐井观天，不知数学的发
展与方向的缘故。以后我到Berkeley，也看了很多文章，得益良多。一方面当地图书馆
收藏丰富，一方面良师益友的交往，心中开始建立对数学的看法。我中学的时候，老师
跟我们讲：好的书要看，不好的书也要看。数学里面不好的书我也看，你可能奇怪为什
么不好的书我也看；我是觉得这样子，你一定要晓得什么是好的书，什么是不好的书，
所以你看文章的时候，一定要搞清楚这个作者写文章并不见得是了不起的。有些作者，
你晓得他的著作是了不起的可以多看，可是从不好的文章里面，你也可以看到许多现代
的发展。因为有时候，从简单的写法里面，你反而看得比较容易一点，可是你一定要晓
得他里面所讲的命题并不见得是有意思的，你一定要经过你自己大脑去搞清楚。可是他
里面的组织往往是有的，普通水平的文章里面往往会引出有名的文章，也会介绍出有名
的文章里面讲些什么事情，同时往往会写的比较容易看一点。因为它的水平比较低，它
可以学一些大数学家的文章，你看了以后，很快就晓得怎么进出不同的地方，可以和好
的文章比较。这是我自己的经验，你不一定要这样子做。我的建议是大部份的时间看大
数学家的作品，小部份时间浏览一般作品，并做比较。我当研究生的时候，有时候从早
到晚都在图书馆里面看期刊、看书。当时因为在Berkeley没有研究室，研究生没有研究
室很好，整天在图书馆里面坐。几乎主要期刊的文章我都看过，看过并不表示仔细的看
，但至少有些主要的定理都看过。当时大部分都看不懂。看不懂没有什么关系。往往你
要花很多工夫才能够在细节的部份搞清楚一篇好的文章。因为你第一眼看得懂的文章并
不见得太好。并不是讲一定不好，简单的文章有时也有创见，多看文章让你晓得当时的
人对于哪一个方向的问题有兴趣，对你有很大的帮助。有很多学生跑来问我问题，我跟
他讲某某年有谁做过、做到什么阶段，他们听了很惊讶，为什么我晓得？没有谁讲给我
听，是我自己在文章上看到。这很重要，因为你做研究的时候，你要晓得什么人做过、
解过哪些问题，对你的帮助很大。因为往往做研究的时候，你须要晓得得只是谁做过、
在什么地方可以找到这个方面的文献，你以为有了这个帮助以后，你可以跑回去找这个
文件。甚至你只要晓得那一年代谁碰过这个问题，对你也有很大的好处。有很多名家的
文章往往比人家做快一步，就是因为他晓得谁做过这件事情，他可以去找这方面的文章
，或者去找某个数学家帮忙，否则的话，做数学的有十几万人，你根本不晓得谁做过这
个方面的问题，谁没有做过。所以在这方面多学一些人家做过的问题，无论出名的文章
也好，差的文章也好，都看一看。我当然是建议你多看一些出名的文章，因为差的文章
等于是消遣性，看武侠小说一样，看完就放在一边。你有追求的热情以后，慢慢地在将
不同的看法放在一起。到了这个第一步以后，我觉得你可以开始找自己的题目。因为你
开始晓得整个数学界主要在看什么问题。一个好的数学家怎么找自己的问题是很重要的
。当然有不同的找法，有些人要发展一套理论，有些人要解决难题，理论的目标最后还
是要解决问题的，所以解决重要问题是发展一般理论中一个很重要的一环。举例来说，
像Poincare Conjecture，它是三维拓扑中最主要的猜想，我们晓得前人花了很多心血去
解决它，到了现在有很多不同的尝试方法，各自成一个气候。这个命题已经变成一门学
科而不再是一个独立的问题。这是三维空间的结构问题，需要彻底解决此猜想才算圆满
。另一方面有些人为什么对Poincare Conjecture 有兴趣，对其他问题兴趣不大，那是
因为它是公认的难题。我想选题方面每个人有不同的看法。我有很多朋友是很出名的数
学家，他们只想解决出名的问题，我认为这是错误的选题方法。在数学上，我们应该有
整个的有系统的想法，想整个数学目的在那里，应当解决什么样的问题。
你们可能都念过王国维讲的做大学问的三个阶段，第一阶段是晏殊说的 "昨夜西风凋碧
树，独上西楼，望尽天涯路。" 这是王国维讲做大学问的第一个阶段，要解释这一段话
，我要再说明基本功夫的重要性。如果基本功夫没有做好，你根本望不远。你叫中学生
去望尽天涯路，根本是不可能的事，最后讲一些空谈的话。对数学或者科学上的历史不
了解的话，你根本没有资格去谈以后的事。不是叫你去全部了解，至少有一定的了解。
现在很多学生，尤其是研究生，我觉得比较头痛，教他做一个小题目， 做了以后，一辈
子不愿意放。不停的写小文章，写了文章当然可以发表，对某些年轻人来说讲，他认为
这样子很好，不想重要的问题，今天能够写一篇小文章，明天能够写一篇小文章，就可
以升级，假如不写出来的话，生活上会受到困挠。这都是对的，可是你真的要做一个好
的题目，其实也不见得那么难。一些研究生的论文是历史上有名的著作。为什么他们能
够花三、四年的工夫，做出这么出色的工作？他们是从不懂到懂，然后还要再向前进。
表示真的要做好的题目，并不是像你想象要花很多很多的时间才能够做到，问题是你的
决心是怎么样。昨夜西风凋碧树，就是说你要望很远的话，要将前面小的树去掉，才能
看的远。假如我们眼界里面看的都是小题目，永远都看不远。我们要懂得怎么放弃些渣
滓，才能够做一些好的题目，我想这是一个很重要的事请。你不愿意放弃你明明晓得不
会有前途的问题，就永远做不到好的问题。这是一个困难的选择，因为你觉得毕业、升
级的问题，而不愿放弃你明明晓得不会有前途的问题，那你永远不会成就一个大学问的
。我记得我刚学几何学的时候，当时流行的度量几何，所有工具都是三角比较定理来的
，我始终觉得对几何的刻画不够深刻，后来我和我的朋友和学生开始一系列用到微分方
程做工具的几何研究，我也很庆幸当时愿意放弃一些小的成果，走一条自己的路。我们
选题的时候，可以跟出名的数学家、跟导师或者是从书上去看，可是最后的思考一定要
有自己的想法才能做成大学问。因为你自己没有你自己的想法，你始终跟着人家走，是
没有办法做好学问的。可是你可能没有资格做这一件事情，因为你对于这一门学问还不
懂。我一开始讲了一大堆，就是因为我希望你们去想一想基本功夫要做好，要你对这一
门学问里的不同命题要晓得。就像你去买货，你要晓得百货公司里面有可能出现什么东
西，你才去挑。王国维谈学问的第二阶段是柳永的诗："衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔
悴。"寻找真理的热情就如年轻的恋人对自己的对象的追慕，那是很重要的事。在追求一
个好的命题的时候，中间要花很多工夫，有时候甚至是很痛苦的。可是我们只要晓得，
最后的成果是值得的，我们就会花很多工夫去做，就像爱情一样。很多年轻人找对象时
，朝思暮想，当做学问却没有这种态度。假如你对做学问没有热情没有持久力的话，你
就不可能做成大学问。其实屈原说"亦余心之所善兮，虽九死其尤未悔。"比柳永更来得
彻底。接着下来大家都晓得王国维的第三阶段是： "梦里寻他千百度，蓦然
回首，那人却在灯火阑珊处。"当然这是辛弃疾的诗，不是我讲的，可是基本上我们都有
这种感觉。你真的做过一个好的文章的时候，就有这种感觉。我们花很多工夫做一个好
的命题，有想法的时候，你考虑这个想法对不对有时候晚上睡不好，想得很辛苦。有时
候想的辛苦了，就一睡睡很久，假如你做学问做到这个地步，你会解决很多意想不到的
问题。我想没有人是特别聪明，可是你花了很多工夫，能够进入交通或清华大学，应当
资质都不会太差。我想你花了那么多工夫进研究院，一定希望有一些成果。我们做学问
跟爱情不太同，有时候不一定看到一个目标，而是看到其它。就像我刚才讲的，我们要
解决Poincare conjecture，最后还没解决它，可是解决了其它的命题，这是数学历史上
常常有的。每一个人都有这个经验，你明明要解决这个问题，结果发现解决了其它的问
题。这是因为我们做这个题目的时候，不晓得走法对不对，可是你将这个工具全部搞好
以后，基本的想法、有意思的想法你自己晓得以后，就可以解决很多问题了。在这个路
上走的时候，思想不要太顽固。你要知道还有其他有意思的问题。就是你发展了一套想
法以后，往往有其它的问题你刚好可以解决。可是也因此你要晓得，你在整个做研究的
过程里面，你眼睛要睁开，眼睛怎么睁开呢？很多学生不愿意去听colloquium，也不愿
意去听其他人的seminar。不听seminar就不晓得人家在做什么东西。明明你的方法可以
解决他们在做的问题，但你眼睛闭起来、看不到，这是一个很大的困难。很多学生尤其
是中国学生，讲我的论文是做这个，这个seminar与我的论文无关，我不愿意去听、不愿
意去看、不愿意去跟人家来往、不愿意去跟人家谈。结果你做的论文可能不是你能解决
的问题，可能你的方法刚好可以解决人家的问题。因为你不愿意去听、去看，你就解决
不了问题。一个人的思维有限、能力有限，你不可能不靠人家的帮忙。什么是人家的帮
忙呢？一方面是看文章，听seminar，一方面就是请教名家。你自己去请教别人的时候，
百分之九十五人家不晓得你在做什么，也不可能提供你直接的意见。假如能够直接提供
你意见，帮你直接地解决问题的话，你这个问题不见得是很重要的问题。可见你刚开始
没有搞清楚这个问题有多重要。但不要紧。多请教别人总是有好处，至少晓得这个问题
有多好，还是不好。假如你怕发问，就在seminar或colloquium的时候要多听，多听对你
的好处多得不得了。你在seminar里面就算听不懂的话，至少你在看他写的头两个字，你
就晓得最近人家在做什么事情。你可能觉得莫名其妙，可是事实上你可以得到好处，这
是很要紧的。所以能够有机会尽量去听不同的课，对你是有很大的好处；念纯数学的也
应当去听应用数学或物理方面的课。听seminar时，即使relax一天，也没有什么关系，
反正总比在家里面无聊或看电视好。怎么在一个孤立的地方，也能够做一个好的学问。
我举个例子来讲，十四年前，复旦大学有一位学生，他要来跟我，我答应了收他。结果
因为当时复旦大学的校长怕留学生全部走掉了，所以不准他出国，因此他没有办法来跟
我。但是他将我80年写的问题集，大概有一百题的样子，选了其中的一个题目去做，拼
命的在做。我不晓得他拼命的在做这一个题目，虽然他在一个比较孤立的地方，可是十
多年来只做这一个题目，最后去年做出很重要的结果。我觉得很高兴，因为这一个题目
是一个很不简单的问题。可见你只要找对了题目，同时你拼命的花工夫去做，就算你不
跟人家来往的话，也不见得做不出来。当然我不知道他是不是完全不跟人家来往，因为
复旦大学里面也有一些很不错的数学家。我想不可能全部都不跟人家来往。可是在交大
、清华这些地方是不能讲是全部孤立的地方。在这个条件之下，我觉得绝对是可以做好
的学问，只要我们将整个思路搞清楚、整个问题搞清楚。
今天讲的主要是我觉得来了五年，我想讲一讲我念书的经验，希望你能够参考，我是这
样子的做法。可是不见得每一个人都要有这样子的做法，因为每一个数学家都有对学问
不同的看法。你可以追随不同的路线，可是我想最开始所讲的基本工夫要做好，是永远
少不掉的。然后要尽量去开发自己的领域，题目一定要做重要的。后来真的做得到的可
能是比较小的结果。可是总比一开始只想做不重要的题目来得好。到了解决整个主要的
问题以后，你的看法或对于整个学问的看法又不同，你会有不同的想法。今天就讲到这
里，谢谢大家。
        《整理人》：许正雄，林松山

四.丘成桐：如何学好微分几何
Felling 发表于 2007-1-1 11:46:00
今天很高兴能够在各位面前讲讲我做学问的经验，可以供大家参考一下。我讲「如何学好微分几何」的题目，主要是想跟大家讲讲有关于从前我做学问的态度，因为我是做几何的，所以我就讲做微分几何。很明显的，大部份的同学不会选几何，不过没有关系，其实就是讲讲我做学问的态度。

首先，讲讲我从前的一些经验。我从前在香港长大，在香港念中学、大学，然后到美国念研究所，所以至少在前一半跟大家的经验应该差不了太远，不过是时代有点不同。我在多年前念数学，你们现在念数学，看法上已经有许多不相同，事实上我也不太了解你们现在的想法。不过基本上，我们都是中国文化出生的，所以我想仍有一部份共同的地方。基本上我们是要讲怎么作科学研究，也就是纯科学的研究，我们要看的是我们的志向是怎样的。假如我们想做一个好的科学家，当然我讲的是怎么做一个好的数学家。先说我自己的经验，我从前在香港培正中学念中学的时候，就开始对数学有兴趣。当然还有一些其它的课程，我对数学有兴趣，一方面是受到我家庭的影响，我父亲是做哲学的，所以对于念数学一直都相当鼓励，到了中学以后，我父亲去世了。不过也因此对于自然科学有很浓厚的兴趣。另一方面受老师的影响也很大。我想很重要的当我们开始要做一个学问，尤其是你真的要做一个出色的科学家，跟你的兴趣和你一开始所立下的志向有很大的关系。就是说，开始的时候你期望能够做到什么。假如说开始的时候你根本不想做一个好的科学家，那么你就永远也不可能做一个好的科学家。从前有位大学老师跟我讲说：「假如你不买马票，你永远也中不了。」倒不是说我鼓励你们去买马票，是说假如你不准备做好的科学家，就永远也做不了一个好的科学家。不过是不是讲，你想做一个好的科学家，你就可以做个好的科学家呢？当然不是，你还要有很多其它的因素在里面，我想第一点是要你将做人的目标先决定。

我在国外二十多年了，也教了不少的学生，有些在世界上算是很出名，但有些不是太行。从这方面来讲，比较好的学生和不好的学生我可以晓得不同的经验。我想好的学生大部份一开始就决定他要做到什么程度的科学家，从很早就可以看得出来，因为有了志向以后，才晓得怎么去用功、怎么去花时间在上面。这看起来倒是老生常谈，因为你从小学、中学到大学，大概很多老师都跟你讲同样的意见，可能你听多了都觉得没有什么意思，但是事实上这是成功的第一个因素。我的一位老师跟我讲，你要决定以后你想做什么，讲明了，不是为名就是为利。当时我很惊讶，老师为什么讲这一句话。我们不能否定大部份的想法不是为名就是为利，同时这个想法也推动了不少科学的研究。不过我们也晓得，单是为名为利不可能将科学达到最高峰的研究，我们一定要对这个科学有浓厚的兴趣。我们应当晓得，做科学，我们有一个很纯正的想法，就是对真理的追寻，在真理的背后有一个很漂亮的境界在里面，我们到了一个境界以后，对我们追求学问的人来讲，是无法抗拒的，就算是没有名没有利，我们也希望能够将这个真理搞清楚。举例来讲，如果你喜欢下棋的话，有时你会晓得下到一半的时候，结局会是怎样，你非为名也非为利，当然可以讲说你是为了好胜，但是有时候你总是想追求，想晓得怎么解决这个问题。在科学上来讲我们要追求的是比这个高的境界。我为什么讲为名为利这个事实呢？举例来讲，我们这几年在哈佛大学里教了几个在大学里念数学念得很好的学生，可是到了毕业的时候，我晓得他们明明对数学有很大的兴趣，但是他们选取了完全不同的途径，他们有些人宁愿选取做生意或是到银行里面做事。我并不反对你们去做生意、赚大钱，我失望的缘故是因为这些学生明明是对做学问兴趣特别大，但是他们没有办法去抗拒赚钱的引诱而放弃了继续做学问的前途，有些人甚至过了几年赚了钱，又想重新再做学问，但问题是无论你资质有多好，一般来讲你将做学问的机会放弃以后，再想重新做起将会遇到许多困难。并不是说不可能，也曾有这种情形发生过，但是真正能够达到的情形，几乎是绝无仅有，做学问是不能中断的。我遇见过很多朋友，有些甚至是很有名的数学家，他们有些人会讲我现在一方面做行政的工作，一方面可以做学问，可是事实上，这是没有办法可以达到两者兼顾的情形。我们晓得做学问几乎是全心全意的工作，当对证明追寻的时候，很难说受到其它外界的打扰，仍能够达到很高的成功的。以我的经验来讲，在想问题的时，晚上睡觉也在想这个问题，躺在床上也在想，早上起床第一件事就是想这个问题。我并不是讲你们也要这样子，我是希望你们在遇到一个问题要解决的时候，你要全力以赴，不可能在中间慢慢想一点而在其它也可以花点功夫，这样精神不集中的态度是不可能做好学问的。我想对大家做个建议，假如你想做个真正的好科学家的话，就不能够再往回走，假如你想做生意，那干脆一开始就不要想这个问题，并不是你要做个好的教员就要照我刚才讲的，要花这么多功夫，倒是要念好科学这是很重要的，所以这是第一点，立志很重要。



第二点我要讲的，我在国外多年，遇见过许多很出名的数学家，甚至许多有名的物理学家我也见过许多。在我认为并没有一个是真正的像一般报纸上所讲的是天才，在我所亲身认识的大科学家，都是经过很大的努力，才能够达到他所达到的成就。我的学生问我：「为什么你做的比我好？」，我说很简单，我比你用功。我在办公室或是在家里边，我天天在想问题，你们在外面玩，而我花了功夫在解决想了很久的问题，我总比你不想、不花时间成就大一点。你可能去听个大科学家或大数学家演讲，你会觉得漂亮得不得了，怎么一个人能够讲得这么好！这个人是个天才！可是你有没有想到，他在后面准备花了多少时间想这个问题？

大概你们听过最出名的科学家费因曼，《费因曼物理》注1漂亮得不得了，所有出名的物理学家都这么讲，去听的人不是学生，都是老师或物理学家。费因曼在准备费因曼物理的时候是什么事都不做，就只有脑子在花功夫，整天在想这个问题，跟许多学生不停的在谈这个问题。费因曼是个有名的天才，可是他准备这个研究也花了许多不同的功夫。我想很多出名的科学家在有所表现出不同的时候，你会觉得他是天才，事实上他用在后面的功夫都是很不少的。有许多很聪明很厉害的人可能是研究生甚至是教授，往往你给他一个问题，他可以很快给你一个答案，同时是很不错的一个答案。可是很多这样出色的学生或是教授，过了很久以后，你总会觉得他没有做出很好的成绩出来。问题是，你解决的问题太容易了；没有再花很多精神去考虑这个问题。尤其在我们中国人最缺乏的，就是在做中学生或是大学生的时候，没有将一个问题从头到尾仔细考虑清楚，并没有真正的全部了解，这是个很重要的问题。从一个很小的问题，我们可以引发很多不同而且有意思的问题。思考要自己训练，不单是在联考或在大学的时候，老师出个题目，你考了一百分就完了，假如这样的话，你很容易就满足你自己，你不觉得问题有什么意思。往往出名的研究是在很平凡的问题里面，不停的思考所找出来的，很多人因为很快将问题解决了，便不愿再想下去，所以不能够再启发新的东西。科学的研究，不是解决人家已经晓得的问题。当一个科学家问一个好的问题的时候，即是成功的一半。因为科学的推动是从不断的找寻新的问题，新的方向出来的，解决从前的问题虽是个重要的推动方向，可是我们还要找出新的方向，而不单是解决从前的问题。

我们知道在物理上解决问题的时候，往往大的或出名的公式是将前面固定的理论推翻，而找出新的路子。为什么大数学家或大物理学家能够做到这个地步呢？因为他们不断的问问题。有时候在一般人来讲很明显的问题，在出名的科学家看起来，就不见得很明显。为什么不明显呢？因为我们有不同层次的问题要一路考虑下。问问题的能力是一个很重要的训练，并不是花很多功夫就可做到，我想在我们中国的小学、中学或大学里都没有很好的做到这一点，我想从小应该做到这一点的。现在我们来看数学跟其它物理、化学或生物等实验科学有那些不同？物理或化学等科学是从一般实验、现象界所找的题目，最后再经过实验的证实，才能算是个成功的理论。理论物理学家可以发展很多不同漂亮的理论，但最后假如不能够在实验里做出来的话，对物理学家来讲就是一篇废话。数学家有个好处。就是说，我们做了学问，一方面大部份是从一般的科学里面产生给我们的，一方面可以当作文学作品来欣赏。我们的取材多采多姿，一方面是比较基本的，从自然界或物理上的基本粒子、广义相对论、重力场去拿出很多基本的大自然的问题。这方面对近代几何学上的影响很大，另一方面可从比较没那么基本的理论里发生出来。所谓不基本，并不是说不重要。我们要了解到我们有些问题是从工业界来的，譬如说做飞机、做螺丝，甚至做流体变动的问题，都是可产生许多有趣的几何问题或是数学问题。例如说机械人手怎么去拿东西？这都可以看做是基本的几何问题，物理学家不一定有兴趣，可是数学家却有很大的兴趣。另外我们也可以对与实际问题不相近的问题产生兴趣，我们对一个图画得漂不漂亮，我们也可以在数学上研究。几何在数学上的取材有三个不同方向：第一是从基本自然界里产生的问题。从基本粒子、重力场到电磁波基本上如何产生的种种重要几何问题，从表面上你看不出来为什么它跟几何有关，但事实上近代物理将很多这种基本场论的问题变成几何问题，对微分几何来讲有很大的贡献。第二是刚才所讲，工业界与古典力学出了很多很重要的几何问题。第三就是纯粹从美的观点来找问题。举例来讲，从数论里面找了许多很漂亮的问题，尤其是近十或二十年来，大部份重要的数论问题大多是用几何的方法来解决的，这是几何在数学上三个重要的取材方向。

我为什么讲取材的问题呢？因为很多中学生或大学生在念几何或是某些数学课程的时候，认为我们念那个学科就念那个学科就够了，而不要念其它的学问，这是个很错误的观念。因为数学里面每一门的学问都有密切关联的，不单是数学，其实所有的理论科学中间都有很密切的关系。例如我们刚刚所讲的，高能物理与数学的关系，或是化学甚至生物都跟数学有很大的关系，所以我想怎么学几何呢？第一点是当你决定好要做一个好的几何学家时，你一定要广泛的学不同的学问，基础要比较广，如微分方程、代数、物理学以及其它学科，至少在心理上有个准备，就是说这些学科将来是对你有帮助的。你听起来会觉得这是很困难的事情，你不可能学会这么多种不同的学问。这主要的分别就是你要有一个层次，你的专科是那一方面，就要多学一点，但不可忘掉其它的学科。有时在某个意义下，我们可以很惊讶的看到同一个学问、同一个命题，在两个不同的学科里面，可以以不同的方法出现，就是说以不同的方法证明。我想主要的原因是根本上这两个学科的分别并不是很大。在几十年前有个出名的物理学家说数学有不可思议的力量。为什么数学能够在物理上有这么大的影响呢？因为从物理学家的看法，数学家祇是在玩一些简单的符号，纯粹是在家里想一些自己的问题，与自然界的关系好象不大，其实这是个错误的想法。我们数学家研究的问题是很具体的，只是有不同的层次，所以有点不同而已。举例来说我们研究微分几何上一个最简单的图形-圆球，这圆球可以说是一个抽象的观念，我们也可以说它是自然界很具体的一部份。也就是说我们将所研究的圆球视为自然界的一部份，其实跟物理的现象差不了太远的。尤其在现代的高能物理里，我们研究基本粒子，尤其到了量子力学的观念以后，因为能量已经到了很高的地步，所以有很多根本没有办法做实验，所以基本上也是在家里或课堂里或办公室里用纸笔来算，这跟数学家想象的差不了太远。假如物理学家可这么做，表示数学家也能够坐在家里面而对自然界达到某种程度的了解。为什么我要讲这些呢？这些与微分几何有什么关系呢？我要讲的是你在选题的时候，我们虽然有个自由度对于选题与自然界无关，但是我们也有一个限度在里面，假如我们选的问题与现实相差太远，最后我们的命题会被淘汰掉。在历史上出现很多不同的研究，过了十年、二十年后就完全被淘汰的。你看现在的图书馆里面有许多的文章出现，不过再过个十年八年以后，我想大部份的文章是会被淘汰掉的，根本在整个数学历史上起不了任何作用。这是因为很多的文章实在没有解决问题，其次是对我们研究的对象没有产生任何效果。所以虽然我们数学界不用时间来做证明，可是我们有某种程度的测试。

一般来讲，证的很好的数学，二十年或五十年内都可以看到它在现实里出现帮助。我们晓得在这个二十年以来，从前许多不重要的问题，在今日的工程上发生很大的影响。举例来讲，从前在数论里对于质数的搜查这个问题，这完全是一个无聊的命题。就是说一个很大的数，你怎么将它因子分解得很快。近十多年来，在国防科学上这问题变成一个重要的命题，有许多国防科学家在做这方面的研究，所以说数学上的选题很重要。为什么因子分解很重要呢？表面上看来跟真正的用途好象没有什么关联，可是它是一个很自然的问题，一个很大的整数它怎么分解，很快地，表面上并不重要，但可以帮助我们了解质数的分布情形，所以我说选题是一个很重要的问题。我记得从前我们在做大学生的时候，花了很多功夫去念一些文章与参考书，有些对数学来讲是很无意义的，可是反过来说因为花了很多功夫，所以可以了解到有些问题比较重要，有些问题比较不重要，所以花的功夫并没有白费。其次我们讲做一个学生应该是怎么一个看法。对于做数学或做微分几何来讲，我觉得研究的气氛很要紧，尤其在中国的环境里，好象是不太容易培养出这种气氛来。假如你旁边的朋友或同学跟你谈的都是其它的问题，譬如说股票涨了或跌了或其它问题，久而久之，你大概对于做学问也没有很大的兴趣，所以培养做学问的态度与你交的朋友、跟的老师的关系很大。如果你们时常讨论学术上的问题，你就不会觉得自己很孤单，能够激励你对数学上有更大的兴趣。假如你自暴自弃，就是说你认为自己不能够在数学上做研究，不能够在数学上达到贡献的话，你永远也达不到，而且同时也影响到你旁边的朋友，使得大家都不能向前走。我们晓得许多出名的数学家甚至在牢里也可以写一些出名的文章，倒不是你永远关在牢里就能做好的文章，是说人在最困难的时候也可以做研究。除了气氛很重要外，你也需要得到先进的支持，从前我们念中学的时候，念了很多关于做学问的方法，从前觉得很好笑，以后念书念得多了以后就觉得这些很重要，事实上这些是很重要的经验。有句话说「学而不思则罔，思而不学则怠」，你单是学而不想是不行的，你单是想而不学也是不行的，这两句话看起来很简单，其实就是怎么分配你的学习跟思想，这是一个很微妙很重要的问题。

一个人无论你多用功多天才，你假如不将前人做过的东西去体验去学习，是不可能做好的。这道理很简单，一个人的智能有限，我们不可能与前面十年、五年所有人做过的加起来的智能相比，我们要靠前人的经验，要靠他们的启发，才能够向前迈进，虽然有人自夸的讲比他们加起来都行，我不相信这种情形，也没见过这种情形。所以出名的贡献如爱因斯坦、牛顿的贡献，也是在前人的成果方面再向前走一大步或一小步。所以学是一定要的，可是如果你学过这个东西以后而不去思考，不去消化，就算你可以考第一，考一百分，但是你不想是绝对没用的。我们看过很多出名的天才，十二岁就拿到学士学位，甚至拿了很高分，可是往往我们看不出他以后的成就。为什么很多所谓的天才在以后的科学发展里没有任何的贡献？这是因为他们没有思考，没有思考在科学上完全不会引起任何的波澜、任何的贡献，对于整个科学完全没有好处。所以学了以后一定要思考，怎么分配你的学习跟思考就往往要有导师的帮忙或是同学的帮忙。所谓的帮忙并不是说老师跟你讲你应当这么做或应当怎么做，这样往往是没有很大的效果，所以我刚刚讲的气氛很重要。从人家用功的程度或是讲话的态度的启发，或是讲话的时候能够去听，追根出什么东西来，从它而得到很大的帮助。从前我到柏克莱去念研究所时，我花了很多功夫去听很多不同的科目，有些人觉得很奇怪，为什么我会去听那些课？我觉得这些课对我有好处，过了几十年后我还是觉得有好处。有些课在我去听的当时可能不懂，可是听了还是觉得有好处，因为一个人的脑袋的想法并不是那么简单的，有时候某些东西当时可能不懂，可是慢慢的就能领悟很多东西。

我举例来讲，我做博士论文的时候，我刚好要用到群论的东西，当时我问过许多专家，但是都不懂，我突然想到从前在某一课上听过一个有关这方面的论文，我忘了当时讲什么课，但我记得大概在那里可以找这方面的文章，所以我花了2天的时间在图书馆，结果给我找到差不多是我所要的文章。假如当初不去听这门课的话，我完全没有这个机会，所以有时候听一门不懂的课，有很多不同的帮助，所以很多研究生我跟他们讲，你们去听课不一定要懂，你坐在那边总比不坐在那边好，你不坐在那边的话，你完全不可能知道有其它的方法。我想最后还是你对整个学问有多大兴趣的问题，假如你对这个学问兴趣不大的话，你没办法长年累月的坐在图书馆，坐在办公厅里，或是坐在一个课堂上听课，所以你一定要先决定你对这学问的兴趣有多大，当然做研究还有许多其它方面比较复杂的原因，以后有机会我们再讲下去。我想现在你们在大学的阶段，最要紧的是决定以后你要做什么东西，其它的可能就容易做到了。


我的数学之路－－丘成桐（1）
Felling 发表于 2006-12-29 15:52:00
美国哈佛大学教授

我在香港的郊区─元朗和沙田─长大。那里没有电，也没有自来水。小时候就在河中洗澡。家中有八兄弟姐妹，食物少得可怜。五岁时参加某著名小学的入学试，结果没考上。原因是用了错误的记号，如把57反写成75，69反写成96等。



我只能上一所小小的乡村学校。那里有很多来自农村的粗野小孩。受到这些小孩的威吓，加上老师处理不善，不到一年，我便身患重病。在家中养病的半年，我思索如何跟同学老师相处。升上小六时，我已经是一群小孩的首领，带着他们在街头乱闯。



家父是位教授。他教了我不少中国文学。可是，他并不知道我曾旷课好一段日子。 ﹙或者这是因为我在家中循规蹈矩，他教授的诗词我也能背诵如流。﹚逃学的原因是老师不怎样教学，在学校闷得发慌， 不久连上街也觉得无聊了。当时香港有统一的升中试。我考得并不好，但幸好分数落在分界线上。



政府允许这些落在分界线上的学生申请私立中学，并提供学费。我进入了培正中学。培正是一所很好的中学。中学生涯的第一年乏善可陈。我的成绩不大好，老师常常对我很生气。大概刚从乡村出来，「野性」未改吧。我热衷于养蚕、养小鱼，到山上去捉各种小动物。沙田的风景美丽清新，在大自然的怀抱里，倒是自得其趣，到如今还不能忘怀。



当时武侠小说盛行，我很喜欢读这些小说，没有钱去买，就向邻居借。父亲不赞成我读这些小说，认为肤浅，但我还是偷偷去看，也看了各种不同的章回小说如《七侠五义》、《说岳全传》、《东周列国志》等杂书。



父亲从我小学五年级教我诗词、古文和古典小说如《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》、《西厢记》等。父亲坚持我在看这些小说时，要背诵其中的诗词。当时虽以为苦，但顺口吟诵，也慢慢习惯。总觉得没有看武侠小说来得刺激。



但是真正对我有影响的却不是武侠小说。中国古典文学深深影响了我做学问的气质和修养。近代的作品，如鲁迅的也有阅读。记忆深刻的：「路是人行出来的，自己的路更要自己去走。」



我们家中常有父亲的学生来访，往往兴高采烈的谈学问。他们讨论时常常谈及希腊哲学，虽然我对希腊哲学不大了解，但却对它留下深刻的印象。希腊学者对真理和美的无条件追求是我一生做学问的座右铭。他们对康德的哲学、对自然办证法的讨论使我莫名其妙，但是久而久之，竟然引起了我对自然科学的兴奋。西方的作品如《浮士德》、《战争与和平》等文学著作，虽有接触，但远不如中国文学对我的影响深厚。



我开始研读史学名著《史记》和《左传》。对《史记》尤其着迷。这不仅是由于其文字优美、音调铿锵，还是因为它叙事求真，史观独特。直到现在，我还不时披阅这书。史学大师驻足高涯，俯视整个历史，与大科学家的思入风云，探宇宙之奥秘遥相呼应。 在当时读这些文章，大多部份不能够领会，尤其困难的是读冯友兰写的《新原道》和《新原人》，但是重复的去读，总有点收获。



晋 陶渊明说：



好读书，不求甚解，每有会意，便欣然忘食。──陶渊明〈五柳先生传〉

其实在做科学时，也往往有同样的经验，读书只要有兴趣，不一定要全懂，慢慢自然领会其中心思想，同时一定要做到：



不戚戚于贫贱，不汲汲于富贵。──陶渊明〈五柳先生传〉

这是古人的经验，陶渊明的古文和诗有他的独特气质，深得自然之趣，我们做科学的学者也需要得到自然界的气息，需要同样的精神。



在以后的日子里，我都以此作为原则，以研读学问为乐事，不以为苦。在父亲的循循善导下，我开始建立我对人生的看法。到如今，我读《史记》至以下一段时，仍然使我心志清新：



天下君王至于贤人，众矣！ 当时则荣，没则已焉，孔子布衣， 传十余世，学者宗之。──司马迁 《史记》〈孔子世家赞〉

假如我们追求的是永恒的真理，即使一时的挫折，也不觉灰心。

苟余行之不迷，虽颠沛其何伤。──韩愈

我读《左传》，始知有不朽的事情。

太上有立德，其次有立功，其次有立言，虽久不废，此之谓不朽。──《左传》，叔孙豹论三不朽

以前我以为立德跟立言没有关系，但是数十年的观察才知道立德的重要性。立德立功立言之道，必以谦让质朴为主。 我有一个学生在南京大学电视台访问自炫：「会当凌绝顶，一览众山小」，真轻妄浮夸之言。其实远山微小，越近越觉其宏大。往往众人合作才能跨过困难的地方，在没有尝试创作性的学问时，才会说这种肤浅的说话。



在培正的第二年，我多言多动，老师要记我小过。她是我的班主任，责任心强，诚然是为我好。当她知道家父是位教授，但却拿着微薄的薪酬后，大为震动。此后在她悉心栽培下，我在课堂上规矩多了。就在这年，我们开始学习平面几何。 同学对抽象思维都不习惯。由于在家中时常听父亲谈论哲学，对利用公理进行推导的做法，我一点也不觉得见外。学习几何后，我对父亲的讲话，又多明白了几分。利用简单的公理，却能推出美妙的定理，实在令人神往。



对几何的狂热，提高了对数学─包括代数─的鉴赏能力。当你喜欢某科目时，所有有关的东西都变得浅易。我对历史也甚有兴趣。它培养我对事物要作一整体观。事件是如何发生的？到底是甚么原故？将来会如何？ 就在这时，父亲完成了他的《西方哲学史》。他跟学生谈话，总是说应整体地看历史。这种观念深深地影响了我。这种想法，在往后的日子中，指引我去寻找研究项目。



父亲的书对我有很深的影响。 书中第一页的引言：

身与时舛，志共道申。标心于万古之上，而送怀于千载之下。──《文心雕龙》〈诸子〉

这是何等的胸襟，与古人神交，而能送怀与后世，确是一个学者应有的态度。





哲学史的目的有三，



一曰求因，哲学思潮其源甚伙，必先上溯以求之。

二曰明变，往昔哲学思想交缠屈结，故重理其脉络，是为要务。

三曰评论，所有思潮及其流派，皆一一评论，作警策精辟之言。

这三点和自然科学的研究有密切的关系，再加上创新，则可以概括研究的方法了。



十四岁时，父亲便去世了。这或许是我一生中最大的打击。在一段颇长的日子里，对父亲离开了我和家人的事实，我都不能置信。家中经济，顿入困境，我们面临辍学。幸得母亲苦心操持，先父旧交弟子的援手，我们才幸免沦落。



家中剧变，令我更成熟坚强。困境中人情冷暖，父亲生前的教导，竟变得真实起来。以前诵读的诗词古文，有了进一步的体会。我花了整整半年，研习古典文学和中国历史，藉此抚平绷紧的心弦。典丽的诗词教人欣赏自然之美，排除了世俗功利的思想。



我阅读了大量数学书籍，并考虑书中的难题。当这些难题都解决掉后，我开始创造自己认为有挑战性的题目。由个人去创造问题此后变成我研究事业中最关键的环节。学校的课本已经不能满足我了。我跑到图书馆、书店去看书。我花了许多时间打书钉，阅读那些买不起的书本。我读了华罗庚先生写的很多参考书，无论在分析或数论上的讨论，都漂亮极了。也看了很多帮助课堂解题的书，例如陈明哲写的一些小册子，一般来说，我会比课程早一个学期做完所有的习题，所以听数学课是一种享受。



打从十五岁起，我开始替低年级学生当家教，以帮补家计。我找到一些巧妙的方法，使成绩低劣的孩子摇身变成优等生，为此我觉得有点飘飘然。我积累了教导年青人的经验，同时也体会到教学相长的道理。



我们的数学老师十分好。他教授的内容，比课程要求来得艰深，但我觉得丝毫不费气力。其实我的同学们虽然叫苦，但是总的来说，数学都不错，这叫做取法乎其上，得乎其中。近代数学的教学方法，恐怕适得其反，取法乎其中，得乎其下。



当时我们的物理老师不太行，对此不无失望。中学时养成不了物理上的基本直观，至今于心还有戚戚焉。国文老师却是无懈可击。他是我的父执辈。他教导我们思想要不落俗套。 国文教师说思惟要自出机杼，读好书之余，烂书也无妨一读，以资比较。因此我甚么书都啃。他这种观点，就是放诸我日后的科学生涯中，也有其可取之处。



作文堂的一个典型题目︰「 猪的哲学观」。 于是大伙儿兴高采烈，自由发挥。在班里我并非名列前茅，数学科的等级也不见得最高。但我比同班诸子想得更深，书也读得更多。



中学读书，除数学外，真正对我前途有影响的是国文和历史。现在来谈谈中学国文和历史对我的影响。下面一段文章使我觉得做学问是我一辈子的志愿。



盖文章，经国之大业，不朽之盛事。年寿有时而尽。荣乐止乎其身。二者必至之常期，未若文章之无穷。是以古之作者，寄身于翰墨，见意于篇籍，不假良史之辞，不托飞驰之势，而声名自传于后。──曹丕〈典论论文〉

有了做学问的志愿后，我尽量培养自己做学问的兴趣，这要从做大量的习题和思考开始：

学而时习之，不亦乐乎。──《论语》

学而不思则罔，思而不学则殆。──《论语》

追求学问的道路曲折有致，必须要有毅力，才能持久。《楚辞》所描述的浓厚的感情使我感受良深。

亦余心之所善兮，虽九死其犹未悔。──〈离骚〉



惟郢路之辽远兮，魂一夕而九逝。──〈九章 抽思〉



路曼曼其修远兮，吾将上下而求索。 ──〈离骚〉

我在中学和大学时就注重培养气质，有好的气质，才能够有志趣去做大学问。



我知言，我善养吾浩然之气。──《孟子 》



有很多人以为自己不是天才，没有办法做大学问。



譬诸音乐，曲度虽均，节奏同检，至于引气不齐，巧拙有素，虽在父兄，不能以移子弟。──曹丕〈典论论文〉



但我认为这是错误的看法，气质是可以改变的，以下一个故事可以说明这个看法：



伯牙学琴于成连，三年而成；至于精神寂寞，情之专一，未能得也，成连曰：吾学不能移人之情，吾师有方子春，在东海中，乃赍粮从之，至蓬莱山，留伯牙曰：‘吾将迎吾师。’刺船而去，旬时不返，伯牙心悲，延颈四望，但闻海水汩没，山林谷冥，群鸟悲号，仰天长叹曰：‘先生将移我情。’乃援琴作歌。──《琴苑要录》



可见师友和读书的环境却足以转变人的情怀雅志。我在中学、大学和研究院都深受良师益友的影响，以后才慢慢成长。 其实做学问，无论是自然科学或文学都有气质的问题，从文章中，往往可以看出作者的修养。古代注重音乐，从乐声中可以看见国家的盛衰，也是同样的道理。



吴公子札来聘，请观于同乐，使工为之歌周南召南。曰美哉，始基之矣。犹未也，然勤而不怨矣，

为之歌郑，曰美哉，其细已甚。民不堪也，是其先亡乎。 为之歌齐，曰美哉，泱泱乎，大风也哉。表东海者，其太公乎 为之歌大雅，曰广哉，熙熙乎，曲而有直体，其文王之德乎。 ──《左传》季札观乐



在培养我自己的气质时，我尽量观摩别人的长处。



师者，传道授业解惑者也。──韩愈



三人行，必有我师焉。── 《论语》



我觉得在与师友相交之际，需要言必及义，而最重要的乃是善于发问。



善问者，如攻坚木，先其易者，后其节目，及其久也，相说以解。……善待问者如撞钟，叩之以小者则小鸣，叩之以大者则大鸣，待其从容， 然后尽其声。──《礼记》〈学记〉



中国科学家最欠缺的是发问的精神。历史上最著名发问乃是屈原的〈天问〉︰



遂古之初，谁传道之？上下未形， 何由考之？……日月安属？列星安陈？── 〈天问〉



以后的学者很少有这种精神，可能是中国科学不发达的一个原因。 善于发问后，才能寻找到自己志趣所在，才能够择善而固执之。 很多同学开始时读书读得很好，以后就灰心了，不求上进，一方面是基础没有打好，又不敢重新再学，一方面是跟师友之间的关系没有搞好，言不及义，得不到精神上的支持。有些则名利熏心，不求上进。我有些学生毕业时很踏实，受到表扬，就以为自己了不起，事实上学问还没有成熟就凋谢了。这都是因为气质和志趣没有培养好的缘故。





民生各有所乐兮，余独好修以为常

虽体解吾犹未变兮，岂余心之可惩 ──〈离骚〉



苟余心其端直兮，虽僻远之何伤 ──〈九章 涉江〉



何昔日之芳草兮，今直为此萧艾也。

岂其有他故兮，莫好修之害也。 ──〈离骚〉



以下韩愈作文的态度一直影响了我做学问的方法︰



始者非三代两汉之书不敢观，非圣人之志不敢存，处若忘，行若遗，俨乎其若思，茫乎其若迷。当其取于心而注于手也，惟陈言之务去，戛戛乎其难哉！…… 其观于人也，笑之则以为喜，誉之则以为忧，以其犹有人之说者存也。如是者亦有年，然后浩乎其沛然矣。吾又惧其杂也，迎而距之，平心而察之。其皆醇也，然后肆焉。虽然，不可以不养也。行之乎仁义之途，游之乎诗、书之源，无迷其途，无绝其源，终吾身而己矣。──韩愈〈答李翊书〉



一九六六年我进了中文大学。虽然对历史抱着浓厚的兴趣，我还是选择了数学作为我的事业。 就在这时，中学时念的高等数学渐渐消化，开始时还不大懂，但一下子全都懂了。我比班中同辈高明不少。 大学的数学使我大开眼界。连最基本的实数系统都可以严格的建立起来，着实另人兴奋万分。当我了解数学是如此建构后，我写信给教授，表达我的喜悦。这是本人赏析数学之始。



一位刚从柏克莱毕业的博士来了香港，他名叫Stephen Salaff。他对我大为赞赏，我们合写了一本有关常微分方程的书。 另外一位老师Brody来自普林斯顿。他有一套独特的教学法。他找来一本高深的数学著作，然后要求学生在书中找寻错误，并提出改正的方法。这是让我们不要盲目依赖书本的良方。同时也训练了我对书本上定理采取存疑的态度。我有时将某些定理推广了，在课堂上说出来，他听了很高兴。



这些教导的重要性在于



── 培养成独立思考的习惯

── 在人前表达数学的时候，找出自己的弱点，与同学和老师一同切磋。



这不论对自己或对自己日后的教学都十分要紧。



虽然只读了三年大学，已经完成了大学的课程。在Salaff教授的帮助下，我进入了柏克莱的研究所。柏克莱的数学系当时在世界数一数二。我八月入校，便认识了陈省身教授。他后来成为我的论文导师。



在香港时我醉心于极度抽象的数学﹙当然我的分析功夫也很扎实﹚，觉得数学愈广泛愈好。我打算念泛函分析，已经学了不少这方面的东西，包括N.Dunford和J.T.Schwartz有关的巨册（三卷本的《Linear Operators》），还有不少有关算子代数的书。到柏克莱后，认识不少卓越的学者，我的看法改变了。



我如饥似渴地从他们处学习不同的科目。从早上八时到下午五时我都在上课﹙有时在班上吃午饭﹚。这些学科包括拓朴、几何、微分方程、李群、数论、组合学、概率及动力系统。我并非科科都精通，但对某几门学问格外留神。学拓朴时，发现跟以前学的完全不同，班上五十人，每个人看来都醒目在行，比我好多了。他们表现出色，说话条理分明。 于是我埋首做好功课，不久之后，我发现自己毕竟也不赖。关键是做好所有棘手的题目，并把这些题目想通想透。



我读了John Milnor的一本书，对里面讲到的曲率的概念深深着迷。 Milnor是位卓越的拓朴学者。我开始思考与这书有关的问题，并大部分时间呆在图书馆。当时研究生并没有办公室。柏克莱名牌教授不少，然而不久之后，我对他们竟有英雄见惯的感觉。在图书馆里我读了不少书藉和期刊。



在柏克莱的第二个学期，我渐渐能证出一些不简单的定理。这些定理与群论有关。在崇基时，我跟老师聊天曾谈及有关的内容，我现在把它用到几何上去。教授都为我的进展而惊讶不已，欣慰非常。其中一位教授开始与我合作，写了两篇论文。陈省身教授其时正在放年假。当他回来时，对我的表现甚为嘉许。



纵然如此，对这些工作我倒不觉得怎样。Charles B. Morrey教授有关非线性偏微分方程的课，另人难忘。他教授的非线性技巧，当时并不流行。他的书也佶屈聱牙。但我隐隐感觉到他发展的技巧十分深奥，对未来几何学的发展举足轻重。我用心地学习这些技巧。虽在盛名之下，听他课的学生同事都不多。到学期终结时，我竟成为他班上唯一的学生。他索性就在办公室里授课了。这科目后来成为我数学生涯的基石。



完成几篇文章后，陈教授到处说我是如何的出色，虽然他对我的工作认识不深，他的话实在过分夸奖了我。我也开始全盘地思考数学，尤其是几何。我也试图去研究几何学的其它问题，可是进度缓慢。这年夏天老友郑绍远从香港来了，我们在校园旁租了一所公寓，心情更加开朗了。



就在这个夏天，我请求陈教授当我的论文导师，他答应了。约一个月后，他告诉我，我在一年级时的文章，已够格作为毕业论文。我有点闷纳，心想这些工作还不够好，而且我还希望多学点东西。就这样，在第二个学年中我学了不少复几何及拓朴。陈师对我期望甚殷，他提议考虑Riemann猜想。十分遗憾的是，到目前为止，我还没有想过它。



代而之者，我尝试去了解空间的曲率。我确认Calabi在五十年代作出的某建议，会是理解这概念的关键。当时我不认为Calabi是对的。我开始对此深思苦想。这并不是个当代几何学者研究的标准课题，明显地，这是分析学上的一道难题，没有人愿意跟它沾上边。



我渐渐养成把分析作为工具引进几何中的志趣。在此之前，曾有人把非线性理论用于三维空间的曲面上。但我考虑的，却是任意维数的抽象空间。由于Morrey教授及陈师对极小曲面的兴趣，我亦对这项目深深着迷。对调和映照尤其情有独锺，并因此钻研了变分法。



我对几何中的所有分析内容都感兴趣。简而言之，就是要把非线性微分方程和几何融汇成一体。要了解非线性方程，就必须先了解线性方程。因此我建立了在流形上调和函数的主要定理。在我的影响下，郑绍远研究了有关的特征值及特征函数等问题。我们合作写了几篇重要文章，到而今还是这项目的基础。



毕业时我得到几份聘书。陈师提议我到高等研究院（IAS），那儿的薪水不及Harvard提供的一半。但我还是到那儿去了。在高等研究所我认识了其它科目出色的数学家。同时提升了对拓朴，尤其是空间对称理论的鉴赏力。事实上，我利用分析的想法应用到流形上的群作用的课题，我得到了这科目的一些重要结果。



由于签证的问题，我到了纽约州立大学Stone Brook分校。当时Stone Brook是尺度几何的重镇，事实上那儿真的不错，聚集了一批朝气勃勃的几何学家。我学习他们的技巧，但并不认为那是几何的正确方向。一年后我到了史丹佛大学，当时那里并没有几何学者。 史丹佛环境安宁，非线性偏微分方程很出色。在那里我碰见好友Leon Simon及共同的弟子Richard Schoen。我们一起拓展了在几何上的非线性分析。



久在樊笼里，复得返自然。 ──陶渊明〈归田园居〉



我刚到史丹佛时，一个几何大会正在举行。有位物理学家应邀就广义相对论发言。当时我对物理还不算在行。但对他提及有关相对论的一个几何问题却一见倾心。赋予空间的数学解释，与空间物理导出数学问题，两者皆令人神往。 这问题当时对我而言，还是遥远不可及。但我对它念念不忘。在会议期中，我找到了一个办法，去反证Calabi的提议。我讨论了我的想法，反应似乎不错，没人提出异议。人们都松了口气，毕竟大家都猜对了，Calabi猜想是不对的。



两个月后，Calabi教授写信给我，厘清了我的一些想法。我在推理中找到一个严重的决口。在我的研究生涯中，这可说是最痛苦的经历了。我辗转反侧，不能成眠。 差不多两个星期都失眠，眼见名誉因犯错﹙虽然我没把想法成文发表﹚而毁于一旦。经过反复仔细审阅每个步骤后，我相信问题反过来才对。为Calabi猜想举出反例，其论据是先假设它是对的，然后考虑其后果。数年后，当我解答了这个猜想，很多有关的自然推论就水到渠成了。



意识到Calabi猜想是对的后，我便朝着正确的方向迈进。在准备最后的证明前，需要大量的准备工作。我和郑绍远合作研究Monge-Amp`ere方程、仿射几何、极大曲面等相关问题。与Richard Schoen合作搞调和映照，与Richard Schoen和L.Simon搞极小曲面。在短短两年里，我们于与几何有关的非线性分析，硕果累累。这是几何学的黄金时代。



新婚伊始，我找到完成Calabi猜想的正确想法。我终于掌握了Kahler几何中的曲率概念了。一些老大困难的代数几何问题，都因Calabi猜想的证明而解决掉。当时我在首先了解到Kahler几何的曲率结构后，有物我相融的感觉︰



落花人独立，微雨燕双飞。 ──晏几道



这个工作影响至今，可以看最近的一个报导：



弦理论中的一个困难在于它要用十维的时空来描述，而我们生存的空间只有四维而已。Strominger博士回忆起他在找到数学家丘成桐博士的一份论文时的万分喜悦之情。丘博士现任教于哈佛大学及香港中文大学。在这篇文章里他证明了Eugenio Calabi博士提出的猜想。Calabi博士现已从Pennsylvania大学退休。猜想指出这些额外的维数虽然不可捉摸，但在微观下可以想象它们卷曲起来，就像地毯的小毛圈。──〈宇宙一悬案 众人答案殊〉纽约时报 2003年9月2日



完成Calabi猜想的证明后，我看出自己建立了融合两门重要科目──非线性偏微分方程和几何──的架构。一九七六年我在UCLA碰见老友Meeks，他是我在研究所时的同学，他的景况不大好。Meeks是位具原创性的数学家，我向他提议合作，试图把极小曲面和三维流形的拓朴联系起来。



结果成绩斐然。我们解决在这两门科目中的两个经典难题︰



当一块肥皂膜的边界是凸时，膜面不能自相交。

Smith猜想的证明，这是与Thurston工作结合的成果。

一旦把方向校正了，很多古典问题便能迎刃而解。

次年，我回到柏克莱访问，并组织了「几何非线性问题」的研讨班。R.Schoen和郑绍远都在那儿。和R.Schoen一起，我们终于解决了那个使我念念不忘的有关广义相对论的难题。这道难题叫做「正质量猜想」，它在广义相对论中占基本的地位。﹙只有当质量为正时，时空才能稳定。﹚



1978年我又回到史丹佛。和萧荫棠一起，我们利用极小曲面作为工具，解决了复几何上有名的Frankel猜想。我也利用了调和映照作为工具去研究复几何和离散群的刚性问题，以后萧荫棠在这方面有极大贡献。这些想法，迄今仍有其重要性。利用我们在广义相对论的工作，R.Schoen和我研究了具正纯量曲率的流形的结构。



1979年我们在高等研究院（IAS）举办微分几何年。差不多所有几何学家都来了。我们为几何学厘定了发展的方向。我提出一百条在几何里的有趣问题。到目前为止，有的已经解掉了，但有的还是迄立不动。1970年代确是几何学的丰收期。



到了1970年代末期，我在数学界可说是略有名望。对于我解决的难题，媒体也有广泛报导。然而，认为我的奋斗目标是奖项，是成名成家，那就不对了。这些都不是本人研究的首要目标。我对数学的兴趣，源于人类智慧足以参悟自然的欣喜。从几何上看，大自然的美是永恒不朽的。



与朋辈如R.Schoen、L.Simon、郑绍远、Meeks、K. Uhlenbeck、R. Hamilton，和稍后的S.Donaldson、H. Taubes、G. Huisken等人的共同努力下，几何上的非线性分析已汇成大流。它于探讨自然之美中的作用不容低估。晚近的进展更显示它在物理及其它应用科学中的重要性。



当几个重要领域─几何、非线性分析、代数几何、数学物理─自然地融合在一起后，经典的老大难题便会迎刃而解。解决难题可以视为人们理解大自然的路灯柱。



但是几何学实在超越了科学家的想象，它日新月异，观念层出不穷，伟大的数学家高斯(1817)曾说：



窃意以为几何之本，其真伪实非人类心智所能证明，亦非人类心智所能理解者，余意于此，日久迩坚。此等空间之属性，莫测高深，后之来者，或有灼见，得窥堂奥。惟今之世，吾辈宜视几何学与纯先验之算术为殊途，宜彼与力学并列也。



在过去十年间，我和合作伙伴正在致力研究基本物理在几何中的作用。为了从物理中掌握动机后面的直观，我花了不少时间参加物理系办的研讨班。在与理论物理学家的交往中，我们获得了一些数学上深刻的定理。其中重要的概念是所谓对偶性（Mirror Symmetry）。



对偶性这概念，优美典雅。它指出在某理论中的强作用等同于另一理论中的弱作用。这与中国道家谈阴阳有不少共通之处。但对偶性严格得多，同时它是定量的。利用它我们可以算出某些数学量。如果用其它方法来进行，那是极度困难的。



新的理论物理和现代几何的密切结合使我们觉得几何学会有一个革命性的改进，正如高斯在二百年前的看法，我希望凭着我们从几何学唯美的直观能够帮助暸解大自然界的基本问题。





为数学而数学，实属显然，何须三思。于无用诸物理学之种种数学理论，均需一视同仁，与其它理论无分轩轾。 —Henri Poincare



使余复稚年，童蒙初习，则愿从柏拉图之教晦，自数学始。─Galilei Galileo

五、丘成桐谈学习数学

从前我们的时代，念中学和大学的时候，能够挑的科目不是很多；现在比起从前有点大不同，可挑的比较多。如果是要赚大钱，你可以念工商管理，很多不同的科目，你可以赚很多的钱。其实对整个国家来讲，也需要能够管经济或其他方面的人才，赚钱没有什么不好。
　　对于国家，整个社会来讲，没有讲一定要念数学。其实要混口饭吃的学科很多，同时也可能比较容易点，所以念数学不要是混口饭吃就好了。就是讲你跳出这门课来看的时候，最好不要讲念数学就是为了混口饭吃或为什么东西。假如你不想念数学，就早点决定不要念数学，你真的要念数学的话，你就花工夫在这上面。
　　懂得越多，才知兴趣所在
　　我的结论就是假如你决定要念数学，挑选了数学以后，你就花全部工夫到数学上面去，希望对数学有兴趣，在数学里你可以得到很大的乐趣。同时这样决定了，对你以后的成就也会有很大的影响。
　　我觉得最不好的就是你对数学有兴趣，却为了赚钱就跑到其他科目，其实你也不见得赚得到钱。这是讲你的决心要下得很大，不要三心二意，“让我念念看，假如不行的话再转”，很多人是这个样子，尤其是中国学生，进了大学再试试；看嘛，这儿不行就转转，最后搞得两边都不如愿，很多人是这个样子，为什么一定要这样?
　　这是决心的问题，一个很重要的决定，就是你进数学系时，你预计要做什么事情，对我自己来讲，我很早就下了决心我要念数学，所以从来没有想过要转其他的或是为了其他事情不念数学。
　　你决定了以后，你要懂得数学有很多不同门，就是分支，你在大学，对每一门分支的了解可能差得远。就是讲你很难在大学里就决定对数学里哪一门兴趣大一点。
　　其实兴趣和你懂得的学问是有关系的，因为你可能对某件东西有兴趣，不过你不晓得它时，你就不可能对它有兴趣。譬如你去爬山，你爬过了小山才看得到大山，你还没有看到后面的山以前，就不可能对后面的山有兴趣，所以所谓兴趣和你了解多少是一种非线性的关联。
　　这个兴趣和你当时的地理环境有关系，跟当时的时间也很有关系，就是和当时的时空关联很大。譬如来讲，因为你刚好在台湾，你旁边的教授若是单做那一行的，你对其他行就不见得晓得。就整个世界来讲，虽然你刚好走到某个地方，也许时间刚好不对，大部分数学家对这一方面兴趣不大，对其他问题兴趣大一点，并不表示其他问题就不重要。所以数学家对整个数学的了解，跟时空有关，兴趣也会跟这个有关。
　　我觉得一个年轻的学生，首先要开放心胸，就是讲你要晓得，你念的学科，有很多时候跟其他的学科关系很大，不要以为我念的这门学科跟其他的完全无关，其他的就不念了。例如很多学生，说对某些文学课有兴趣，凡跟这门文学没，有关系的，就不再想去念它。比如讲我对泛函分析有兴趣，跟泛函分析关系不大的，就算有一点关系我也不想去看，这是一个错误的观念。其实泛函分析跟偏微分方程及很多不同的理论有关。大学是一个通才教育，就算你单对代数有兴趣，除了代数要懂以外，对微积分也要懂，其实微积分对代数也有很大的影响。所以基本上大学所能提供的课程，我觉得你们年轻人都应该去学，不单要学，而且要尽量学好。
　　基础打好，对研究帮助很大
　　很难想像有什么大学课程在研究院是不重要的，你在大学里念的每一门课，和以后研究都有很大的关系，我想关系是绝对有的，就算在研究院里一两年的课，我想对你以后的研究也是有很大的好处的，所以应该尽量将基础打好。其实到你真的做研究时，你会发现你需要很多工具，很不幸，很多东西你在念大学、念研究院时没有好好地念好。到了念博士那个时候，你常常要赶写论文什么的，你发现工具已不够，要花很多时间去念，工具不够又不想去念，你就很麻烦。毕业拿个博士以后，你又有很多不同的其他压力，台湾比较少，至少在美国是很大的，你要尽量发表文章，一下子没有那么多时间将那门工具重新再念过。一所以念大学跟研究院那两年的时候，要尽量将所有基本工具全部念懂，我想这是很有必要的。
　　譬如来讲，我很多朋友是代数几何做得很好，可是需要用到分析做工具时，他们就觉得很怕，反过来讲，分析念得很好，可是需要代数时就很怕。不过我觉得一个好的数学家，至少要懂得两门以上的数学分支。当题目来的时候不会恐惧，才能很活跃地做一个好研究。
　　一门学科你要念到什么地步?你自己要晓得。就是讲你遇到一个研究课题的时候，你虽然不见得能够解决掉，至少你要晓得你可以坐下来对这个问题一产生一些想法，同时可以找这方面的文献，将它基本的术语弄懂。晓得怎么去攻进这个问题，然后开始解这个问题。这个问题不一定能够解决，不过至少你不觉得不着边际，晓得怎么去对付这个问题。要做到这个地步，其实是要懂很多东西，要经过相当久的训练才能够达到这个地步。
　　因为我们能力有限，一个人不可能每门都懂，不是我们不想，可是当一个题目来的时候，我们往往会产生很多不同的相关问题，这个题目并不见得正好是我们熟悉的领域，我们希望能够找文献或至少找个适当的做研究的人，问他们一碰到这个问题时要怎么对付。
　　所以你们在大学或研究院要懂得怎么发问，这是个很重要的基本功训练。一发问的训练，从小的方面来讲就是问老师或同学，从大的来讲，就是自己做一些比较起来还没有人问过的问题。一个好的数学家跟差的数学家，往往决定于你一问的问题有没有意思，是不是重要的问题。你要做到后来成为一个专家的时候，才晓得你问的问题有没有意思。
　　不过对你们年轻人来讲，问一些你自己认为有意思的问题是一个很好的训练，你问的问题可能是专家们熟知的或是人家已经解决了的，其实也没有什么关系，问问题是一个很重要的训练，并不容易，不过你要尽量在这方面自己训练自己。
　　我想你们大学念到一年级、二年级时，应当通过跟同学讨论来训练自我，也要通过向老师问问题来训练自己。
　　我不晓得你们清华的同学间，彼此讨论的情况怎么样?我觉得这很重要的。无论是懂的问不懂的人来讲，或是不懂的问懂的人，这两方面都有很大的好处。
　　你自己不懂的问题去问很懂的人，当然对你自己有好处。反过来讲，你自己很懂跟不懂的人解释自己懂的东西，也是一个很好的训练。因为往往我们认为很懂的东西，在向别人解释时，才发现自己其实不懂。向对方解释数学命题时(一般来讲，你大学读到的是比较已知的命题)，往往会发现本来以为对的解释原来是错的。所以无论是你自己觉得自己学问不大好的，或是自己学问做得很好的，我觉得互相讨论对双方都有好处。
　　高年级同学比较知道，在看课外书或是参考书时，前面的第一章，觉得很容易，第二章也很容易，到第三章可能模糊，到第四章时好像很形式化，并不懂什么意思。为什么会产生这种现象呢?这很简单，因为第一章比较浅一点，你是真的看懂了，第二章其实你不懂，你就跳过去了。这个证明没看懂，但自以为，大概这样就对了。越看越多时，前面知识越累积向后面，错就越来越多，到了最后时，根本就没办法控制。
　　假如你看一本书时，你对一个人讲，甚至对一个黑板讲也可以。对其他同学讲，不单有意思，而且同学往往会问你些问题，让你晓得你什么地方是没有搞清楚的，经过整个过程以后，你会晓得什么地方你懂，什么地方你不懂。所以我们往往鼓励学生一定要教书。
　　我们做研究的人也一样，一定要教书，不能够单单做研究就算了，不用教书。教书的好处跟刚才讲的一样，你在讲自己的研究的时候，或者在讲一个命题时，你往往一路讲一路发觉自己有什么不足的地方。你不讲自己的研究，你发觉你好像很模糊搞不清楚；当你向别人讲时，一点一滴讲出来，你就晓得自己在哪方面不足，中间的联系，并不是你想像的那么完善。常常因为我们发觉研究不够完善，所以我们还要继续向前做研究。假如研究都是充足的话就可以告一段落了。
　　所以同学跟同学间，同学跟老师间的讨论，我想都是很重要的。
　　任何一门科学，包括数学，都不能说已经发展得很完善了，在每一个层次上我们都可以问一些很重要的问题。基本上数学里即使很简单的学问，你也可以问出很重要的问题，这些问题你并不一定能够解决，你可以跟老师或者跟同学讨论。
　　不过你在问问题时，可以将自己的整个思想、思考搞清楚，这是一个很重要的训练，我很鼓励你们尽量去问一些问题。
　　我觉得很得意的，就是我从很早的时候，就常问一些数学问题。我在中学时开始问一些问题，自己看有没有办法解决。
　　其中有一个问题，我考虑了一年：给一个三角形多少数据，就可以完全决定一个三角形呢?普通给定三个数据，例如一条边两个角(ASA)或三条边(SSS)，都可以决定三角形，假如给的是三个分角线的长又如何呢?三角形的数据一般有边长、角度、分角线长、中垂线长等等，随便抽三个出来是否就能决定一个三角形?
　　你试试看，大部分的都能解，只有一两个不能解。我中学的时候研究过这个问题，考虑了一年多，最后发现这个问题并不简单。我小时候坐火车，在火车上都在想，最后看了一本参考书才知道能不能解，不过整个过程对我的思考帮助很大。
　　从前是二年级的时候开始念平面几何，我在三年级的时候开始想这个问题，还有很多比这个问题更复杂的问题，所以在最简单最平凡的问题中你可以找到很多有意思的问题问自己。
　　问题并不少，在自然界里或数学中问题多得不得了，问题是自己去找或如何去找。这个要自己训练，方法很多，要自己努力，同时要跟别人多来往。训练要花很多工夫，就是问，从早到晚你究竟花了多少工夫在那里?你要动脑筋，不是随便讲两句就行了。
　　做学问用功很重要
　　我从前有一个博士生，资质不错，想法也不错，我跟他说你一天,最少要花六个钟点在数学上面想论文，他说不行，后来他也没有再做下去了。我不晓得你们能不能坐六个小时想数学，或看数学?做学问全神贯注很重要，假如你觉得不能全身心投入的话，你干脆不要念数学算了。
　　从前我大学毕业后，我一天最少有十个多钟头在想数学，你并不一定要这样子，不过你至少要花一定工夫的钻研才能做一个好的数学家。你愿意花很多工夫以后我想你一定会有收获。
　　当然，一个好数学家，除了用功之外，也要有一些运气在里面，聪明很有影响，你们能考上清华，聪明应该不会差太远，真正重要的，还是全神贯注的能力。
　　从前，我们在中国香港长大，很想看参考书，但又贵又不容易找到。你们现在在清华，我想，你们要找什么都找得到，要找些比较好的研究员来跟你们讲东西，现在也容易多了，所以我想主要是你们能不能够做，最好不要找借口。
　　在国外很多大的学校，学生很多，不大容易找到好的老师，研究的机会可能也比这边少得多，我读大学时的经验就是这样，主要是你肯用功。
　　做学问是靠自己，做研究也靠自己。一般来讲，你到一个学校，刚好跟你做同一行的很少很少，顶多两三个而已。基本上是靠自己。在台湾参考书都有了，不一定要靠别人，要有发动自己的能力，自己肯问问题，单靠自己应该不会差太远的。
　　所以你一旦做决定后，你要享受做数学的乐趣，好比下棋，假若对下棋没有兴趣，被逼去下棋就很痛苦，可是你对下棋有兴趣的话，你越下越有意思，下到困难的地方更有意思，做数学也是一样，碰到困难的问题更有意思，所以一定要建立兴趣。
　　兴趣是要培养的。如果你问一个小学生：“你对微积分有没有兴趣?”你当然可以讲他对微积分没有兴趣，因为他根本不懂微积分。
　　同样的意思，如果我问你对微分几何有多大的兴趣，在你还没有开始做之前，你当然不晓得，因为你根本不懂微分几何。这其实是很空洞的问题，不能讲我现在有兴趣，或我现在没兴趣。不过到你真的做进去以后，你才发现你对它有很大的兴趣。
　　回答师生问题
　　问：请问丘成桐老师，您当初是什么原因才选择做几何这方面?是否有什么机缘?另一个问题是，我已经大四了，一些老师问过我以后想要念些什么，我以前的想法是要念数学，现在碰到这样的问题，好像对分析、几何比较有感觉，可是念到代数和拓扑，又觉得很有挑战性，好像很可以去念一番，以您的经验，不知您有什么建议?
　　答：我从前在香港时，觉得泛函分析很有意思，我很想念泛函分析，你讲我为什么对几何有兴趣，因为刚好我去以后，很多人在谈几何的问题，我自己也在看一些几何的问题，就这样做进去了。其实我的兴趣在很多方面，不能讲我的兴趣就在几何。我觉得数学不应当将它们分界得很明显，我也做很多其他方面的，这是第一点。弄懂第一个问题的回答后，也很容易回答你第二个问题。因为整个数学的走向不应当有很大的分界线，你现在念大四，既然对代数、拓扑也有很大的兴趣，你就应该花很大的工夫去看，将这方面的基础全部打好。你要开放心胸，根本不要讲你对哪几门有兴趣，干脆每一门都尽量念好就差不多了。譬如你刚念微分几何，几何的东西是在一个拓扑流形上才能做的，你非要将拓扑搞清楚，才能做微分几何，对不对?假如你要念分析，其实现在有很多人用拓扑的方法去做，用不动点原理，用比较不同的拓扑去做，这也要学。不然就像我很多朋友一样，分析很好很好，可是一遇到所谓微分流形上的方程，或一些与这些有关的问题就通通不敢碰。当然也不能讲一定不好，就是有一定的局限性在里面。一个好的数学家，每一门都要做得很好。你现在大四，念了几门，至少在大学的课程里面，每一门都应该念好。你不要讲你有没有能力做到，事实上你一定有能力。你现在不把大学课程念好，你以后还是要念好。因为数学本来不分彼此，不要分得太厉害，所以我的建议是在大学时，不一定就讲你固定喜欢哪一门，你可以讲我现在对某门课兴趣比较大，不过你随时可以改变，我想这是比较好的观点。
　　数学是很自然的科学，研究很自然的现象，所以你看了以后知道什么东西比较重要，什么东西不重要。有一些数学我是不愿意做的，因为很矫揉造作(artificial)。每一个人的观点不同，我的观点是我不愿意做这些事。我是这样分的，而不是你们讲的按这一门那一门来分。
　　历史上有许多科目到了某一地方以后，不是讲它们不行了，而是它们发展成熟到了一个地步以后，被吸收融合到其他科目中去了，这个领域基本上便不再独立存在。如一般拓扑学，在历史上起了一定的重要作用，可是在变成基础以后，被吸收到所有数学领域中去了，我们现在根本不谈了。一般拓扑学变成一个工具，不成为一个领域了。我们可以想像数学里面有很多这种课，就是讲到了某个地步以后，我们对整个理论了解透彻以后，不再需要分这门课，假如你刚好念到这门课，而你又不愿意且不懂其他门课，你做这行就很麻烦了。
　　问：我听说有些数学家会对其他东西感兴趣，譬如对哲学有兴趣，不知道实际上怎么样?
　　答：当然每一个人在课余的时候，都会有不同的兴趣，这是很重要的。我认为凡是对思考有帮助的科目，你去看它总是有好处的。哲学对你的思考有帮助，有好处。譬如爱因斯坦就对哲学有很大的兴趣，爱因斯坦一开始在做广义相对论的时候，讨论过哲学上的问题，他也受了一定的影响。我们念数学，当然主要的精神是用在数学上面，我想念其他对你思考有帮助，很明显对你的学科本身也会有好处。每一个人有不同的反应，你对文学可能有兴趣，我个人喜欢看历史，我觉得历史对我很有帮助。
　　问：可不可以具体一点说明，像历史对数学的帮助在哪里?二流数学家做一流题目也算是一流数学家，历史经验帮你选取一流问题。
　　答：历史总归来讲，就是看从前的经验，对事物对不同东西的经验。经验对你在做题目时是有好处的。对一个题目取舍的问题，就是一开始讲的，这是一个表面上很简单的问题，其实有很大的学问。一个第一流的数学家，假如他选取的问题都是第二流的，他顶多也只能做第二流的数学家。一个第二流的数学家，假如他选取的题目都是第一流的，他不一定做得到这个题目，可是他做到这个题目的二分之一，他也算是第一流的数学家，因为他对整个数学的发展有一定的贡献。什么叫第二流的学问?就是讲琐碎的问题，我们基本上对这些问题都有一定的认识，有很多人不太愿意做，或是有其他的原因不大愿意去做。你做第二流的问题，用了很大工夫去做，你做通了，对整个数学的进展没有很大的帮助。对题目的取舍，往往跟你的经验有关。譬如哲学的问题或是历史的问题，你可以晓得，经验对你有帮助，念其他书有时对你也有帮助。像文学好了，你看某些小说，或是看一本好的小说，我是讲很经典的文学小说，或者红楼梦或者三国演义，我不是讲武侠小说不行，你就晓得取舍的问题有很大的不同。
　　问：过去数学家发展有很多理论，后来物理学家发现有许多物理理论的结构跟数学的结构一样。最近十年超弦的发现，是因物理学家认为应该用到更复杂的数学来研究高能物理，所以他们把代数几何或更抽象的数学引进来，你觉得这样走的路会不会是错的?杨振宁说过这种从抽象数学出发的路对的机会不大，不晓得你的看法如何?
　　答：这个问题是看你怎么讲法。爱因斯坦一开始做广义相对论的时候，没有物理的支持，他是从哲学或者科学哲学的方面来讲，晓得他会要什么东西，同时有数学的工具帮忙，做成了广义相对论。刚好过了没有多久，就有证明，某种程度的证明，广义相对论是对的。可是最大的问题是超弦不像爱因斯坦那样，积极找出他需要的哲学背景，超弦理论是刚好它没有一个很坚实的哲学背景。
　　另一方面，他知道有某些东西在里面，就是讲有某种程度的对，不过还没有找到数学的背景在里面，所以现在正在找，最大的问题并不是数学的问题，而是物理上的哲学背景在什么地方。现在差不多好像在钓鱼，你看到鱼竿在那里动，可是看不到鱼在哪里，也不知道是不是真的是一条鱼。不过问题是我们从种种迹象来看，因为它在数学上具有惊人的相容性，至少作为一个数学家，我认为在某种程度上超弦应当是描述一个自然界的现象，否则不应当会有这样一个融洽的数学理论在里面。基本上很多人都是这样的看法，就是说我们要找它的哲学背景。现在还没有找到，基本上的原因是这样的，超弦的前提是非摄动的理论，可是现在所有的理论都是摄动出来的，问题是摄动和非摄动的关系是相差很远的，所以我们不晓得究竟是什么原因。
　　问：不过我们用量子场论的方法，也就是用摄动的方法用得非常好，突然一下跳到超弦这个层次?
　　答：我想问题不单是超弦，自然界有四种力，强作用力、重力、弱作用力和电磁力，在强作用力下，摄动就已经不行了，已经不对了。
　　问：量子色动力学(QCD)还是一个摄动理论?
　　答：不过，QCD里面很多用线性摄动做出来的结果跟实验已经不符合了。所以我想在QCD就已经开始出现分歧，所以并没有十分的证据显示超弦理论不对，因为弦论假设是非重力，所以我认为并不能成为超弦理论的致命工具。
　　问：不过苏联有一个很好的物理学家，认为重力甚至不是一个基本力，他觉得重力不该量子化，如果从这个角度来看，那整个超弦理论就错了，超弦理论是为了要把重力量子化。
　　答：这个问题是这样子，我记得陈省身常常跟我讲，四个力在那边很好嘛，为什么要统一它?就是刚才讲的，我们相信什么东西，假如你相信这个宇宙是在一个很简单的基础上建立起来的，那为什么有四种不同的力，我们没有办法解释它，那就一定要统一它。就好像数学上面，平面几何有许多不同的公理，不同的理论，可是为什么我们很高兴找到几个公理，全部将它们解释掉。问题是同样意思，这是一个信念，我们相信有这个简洁，我们要找几个公理可以假设，或是几个简单的定律可以解释不同的现象，越简单越好。你们相信的话，这个问题就没有什么好讲的。
　　问：那依照你的看法，超弦这个东西跟自然界过程还是有某种程度的关联?
　　答：就是刚才讲的，因为它在数学上得到不同的自洽，因为不是一个场，而是好几个不同的场都很自洽，基本上它不能解释它本来要解释的东西，它应当解释另一种物理现象。像从前做杨～米尔斯规范场的时候，或是从前HermannWeyl研究规范的时候，往往一开始解释的物理现象不是要解释的，最后得到的是一个对的理论，不过这个理论解释不同的物理现象。
　　问：对于大学部高年级同学，若是对微分几何有兴趣，有哪些书较适合读?
　　答：我不晓得你们这边大学的微分几何念什么书?(答：通常是DoCarmo的书)Do Carmo的书念懂了也很不错了。微分几何的书其实也不少，看你自己念还是跟别人念。自己念的话，Spivak的那本书写得很详细，好像还不错吧!Spivak的好处就是它的符号弄得很清楚。你要跟一个讨论班念的话就大不同，Spivak不是特别出色的专家，他的书本身没有教给你做微分几何的方法。Spivak的书你念完后，将基本的符号搞懂，应念其他比较好的书。Milnor的几本书写得很好，其实我从前念微分几何就是从Milnor那本《Morse理论》开始念的，写得很简单很紧凑。
　　问：大学里面，除了数学以外有很多其他的科系，我们会想去碰文学或其他的东西。作为一个数学家，不晓得对这些身外的世界有什么看法?
　　答：刚刚一开始讲过，第一件事，你一定要决定自己想做什么。无论做什么学问，你一定要有一段时间全神贯注，一定要将某门学问搞得很懂，搞到一个可以自认是专家的地步。你搞得很专以后，其间可能还会牵涉到其他学问，不过，你主要的注意力还是在那个地方。譬如来讲，我一天花十多个小时念数学，当然有其他几个钟头是跟其他人谈谈其他东西，有时候系里的课也听听，有时候物理的课也听听，不过我都有一个主要的研究课题。我不反对你们去看历史，去看哲学，文学，不过，你要晓得你的主题在什么地方，就是刚才讲的，你认为什么东西最重要。
　　一个人不可能又红又专，你刚开始的时候，假如你认为你可以同时又搞文学又搞数学，我想你两头都搞不好。这种能同时搞两个完全不同学问能搞得好的所谓天才，我还没见过。有一些人讲你要对社会关心，你对社会关心与你做数学并没有矛盾，你在做数学的同时花了时间去关心社会我不反对，我也不反对你花全部精力从事社会活动，不过你在做这个决定的时候，你要晓得你的数学会做不好，因为你事实上没有这么大的才能够同时专心在两个不同的问题上。历史上我还没见过同时搞两门学问同时搞得真正通的，不大可能的。可是这并不排除你将数学搞通以后，你再去搞文学，或者搞完文学再来搞数学，当然搞完文学再搞数学要比较困难一点。很多数学家弹琴弹得很好，唱歌唱得很好，什么东西都有，有几个弹琴弹得第一流，不过，很明显他们晓得什么是主要的什么是次要的。做偏微分方程做得很出名的Morrey，弹琴弹得第一流，做Banach空间上算子代数很出名的Enflo，Enflo跟我共事过，年纪跟我差不多，他弹钢琴在瑞典是第一名或是第二名，不过并没有矛盾，他是在做完数学再去弹的，就是说有个先后。
　　问：老师刚刚说做学问主要的是全神贯注。年轻人感情的问题常会造成困扰，老师当年求学是不是也有这种困扰?如何处理这种事情?能不能给个建议?
　　答：不应当有矛盾的。跟刚才一样，你做学问跟其他东西，如感情可以分得很干净的。你应当可以分得很干净，我看不出有什么特别大的矛盾。出名的数学家如Euler，他有十多个儿子，家事很忙。从前做数学跟现在不同，比现在辛苦，还要去支撑整个家庭，有一大堆小孩要照顾。你去图书馆看Euler写的文章，至少几十本文集，你单抄书就要抄很久才抄得完。由此可见并不一定有矛盾。你不可能整天在想女孩子吧?
　　问：爱因斯坦说过一句话：“专家不过是训练有素的狗。”不晓得你对这句话的看法怎样?
　　答：首先我不相信爱因斯坦说过这句话。其次什么叫做专家是个很难讲的问题。假如单是重复人家能够做的，叫做专家的话，你可以说你的话是对的。你可以做一个擅长考试的学生，每次考试都考得最好，这是训练有素的，你叫他狗也好，叫什么也好。专家不专家实在很难定义，有时候你看小孩子玩电脑游戏，我觉得他们比我懂，他也算是专家。
　　不要讲一条狗，一条狗其实比机器聪明。现在很多人在做计算机应用，训练计算机想题目或者是做定理。现在还差得很远，最简单的问题就是“品味”的问题没有办法解决，就是一开始我讲的选题目的问题。你要决定一条定理好或是不好，这个问题机器是没有办法决定的，狗也没有办法决定。假如你所谓的专家是这样的专家，他当然没有办法决定。我觉得怎么决定你做的题目有没有意思，是第一流的还是第二流的，这是一个很严重的问题。你当然可以讲所谓第一流，第二流是一个形式，随便你讲。不过微积分跟加减乘除既然有区别，研究当然也有好的差的。假如你连这点都没办法分开，我们就不能讲是高层次的研究。
　　问：我们大一要念计算机概论，有人说对计算机懂一些对我们将来学数学会蛮有用的，又有人说没有用。请就你的了解，说明计算机跟数学有多大的关系。
　　答：就是刚才讲的，其实你学到一门严谨的学问，对你的学问总是有好处的，计算机基本上也是一样。尤其是我们做数学，总是不懂我们要什么东西，不晓得什么应当是对的，什么应当是不对的，做研究的趣味就在这里。假如我们自己晓得什么是对什么是错的话，当然还是可以再去证明，不过最有意思还是没有决定什么是对什么是不对的时候，这时我们往往要做实验。我们数学上的实验很多是用计算机做的，现在因为计算机比从前高级多了，所以对纯数学本身有很大的好处。跟刚刚找题目的意思一样，我们找找看有没有办法晓得有一定的规律出来，然后从那边再找我们要求的定理是什么东西。就是讲，你除了单在脑子里猜外，还可以让计算机帮你的忙。譬如研究非线性常微分方程和非线性偏微分方程，你很难预测它的大范围的行为是怎么样的。假如你很精通计算机，你可以用计算机算算看它怎么走法，对你有很大帮助。我个人其实不懂怎么做数学实验，我是找人家帮忙，所以你能够大学里面就学懂怎么做这个程序，做一个好的数学实验，本身是一个很重要的素质。
　　问：16、17世纪的数学家，好像比较涉及其他的领域，比如物理天文方面，现在的数学家好像比较专注于数学，似乎不大一样，对不对?
　　答：其实没有不一样。问题是现在的天文、物理比从前的难，没有办法不难，我们观测到的数据多得多，就实验物理来讲，我们做数学的很难去接触，并不是我们不想，是因为数据实在太多了，很难处理。我觉得我们现在跟理论物理的关系和16、17、18世纪也差不多，不过那时学问分得没有这么细，所以看起来好像比较密切一点。其实我想再过一百年重新再看20世纪的数学跟物理的关系，我想不见得差很远。
　　首先你要晓得因为我们生在这个时代，很多东西看起来比较乱；其实过了一百年后，我们现在做的学问大部分都被忘掉了，剩下来几个重要的，所以那时候看可能比较清楚一点。我想你看16、17世纪的学问，很多东西根本就不见了，所以你看不出来，就是当时很多做的全部与数学无关的你也不晓得，单做数学的你也看不出来，你看到几个主要的人物，看到牛顿啦，看到莱布尼兹，没有多少人物可以数得出来，你单看到几个人的工作所以看起来好像很密切的样子。所以再过一百年以后，你看这个世界的工作，也是只看到几个人而已。图书馆里面，一天可以找到很多发表的文章，一千多篇都有，大部分文章都不见了，所以你可以想像得到。
　　问：那些不见的东西，有没有它的实质?
　　答：问题是这样子的，好像打仗一样，几十万人去打仗，结果几十万人你都不记得他们的名字，只记得几个将军，或者几个国家。你讲他们不重要，他们当然是最重要的，基本是一样的意思。
　　问：老师，您会不会觉得我们现在念的东西相对以前要困难很多?譬如说平面几何，以前是第一流的数学家在做的，现在我们拿来当基本工具。
　　答：跟刚才讲的意思是一样的，很多东西当时是困难，过了50年以后，你再看这些东西就很简单了。你想想看量子力学在几十年前除了几个出名的物理学家以外，可能对所有的物理学家都是很难的问题，现在每一个人都在用，同时用的时候假设成立根本没有问题。这是什么原因?我们开始研究的时候是很痛苦的，有不同的理论在里面，不同的理论当然有错的或不完美的，最后你要丢掉它，你丢掉它以后，就很干净，很容易看。这样我们一路做，一路将整个学问了解得清楚很多，到了解以后，这个学问变得清晰，吸收到其他不同的概念里面，就不见了。我举个例子来讲，当年高斯算很多微分几何的东西的时候，对当时而言都是很神秘的，高斯的一个著名定理说，曲率是内涵不变量。我记得我大学的时候，写得很复杂的等式，看起来难得不得了，可是大概在你懂微分几何以后，你就觉得是很简单的结论。就是很多计算或很多重要的东西，时代远了以后，慢慢将它融会，变作一个数学里面的观念，不再是工具，这个观念你接受以后，你根本不会觉得困难。所以我并不觉得我们现在的科学会比以前难得多，而是我们刚刚好在这个时候发展科学，很多观念还没弄清楚，才觉得困难。
　　问：可是整体上知识的累积还是越来越多?
　　答：我想目前为止，我们的脑袋可以容许这些，并不见得有特别困难。因为知识不断地进来，我们不断地消化它。一个好的定理在刚出来时，往往难得不得了，几百页的证明，你当然晓得Picard定理，Picard证明这个定理的时候，是一百多页的证明，现在Picard定理的证明可以一页多就证完了，这是什么原因?我们说这个定理重要，我们就会花很大力气慢慢将它消化，直到最后定理看起来是平凡的，基本上重要的定理，就算不是短期的，十年、二十年后，这个证明会很简单，因为通常我们将这些定理的证明分解，分解成很小部分，各个小部分吸收到不同地方去，最后剩下的是一个平凡的证明，历史上所有的发展都是这样。比如平面几何，在埃及的时代，由于阿拉伯人一把火把埃及亚历山大大帝图书馆烧掉了，埃及当然是没有文献留下来。不过我相信埃及造金字塔用了两千年，图书馆中一定搜存了很多关于平面几何的定理和事实。当时没有欧氏公理，所有的现象很乱，乱得不得了，这边一条定理，那边一条定理你可能觉得很难很难。可是这整个东西，等你将定理整个了解以后，就变简单了，我想差不多是这个意思。
　　问：通常一个数学问题，会衍生出好多个问题来，但是数学家增加的速率远比问题增加的速率小，会不会造成一大堆问题做不完?
　　答：这个问题不大嘛，譬如刚才讲的平面几何，到现在你要找平面几何难的问题还是很多，你去看Erd6s的问题集，很多是平面几何的问题还没有解决。没解决并不表示我们对平面几何不懂，我们对平面几何基本上是懂的，可是有公开问题在里面，并不表示不好，而是表示这个领域还是很活跃的，表示还有很多问题可以做。反过来说，一个领域里面，没有公开的问题，表示这个领域已经被我们了解透彻了，没有东西可以让我们继续再做下去。这个领域就可以说是枯竭了。
　　问：如果你现在从头再当大一学生，整个生活可以按照自己理想安排，你会怎么安排整个大学一直到研究所的生活?
　　答：我刚开始第一句就讲，我从前当学生的过程和现在不一定一样，因为时代不同，我们那时候的香港和你们这个时代就很不同。譬如来讲，你们比我们富有多了，我们那时，简单一句话讲，根本没有钱。你们现在找图书没有问题，我猜你们没有人抱怨图书不够，现在专业的工具也是完备多了。我们那时在香港要找一篇文章或一本书都很难，找到后有没有钱去买也是一个大的问题。那时的老师比你们现在的不行，老师拿一个博士学位就很了不起了，不要讲懂，大部分拿个硕士我们就觉得很不错了。所以我的大学经验和你们的经验有很多不同。你们的经验跟我在研究院的经验差不了太远，有好的研究人才，借书什么都不成问题。那时候我觉得在里面能够全神贯注于数学，我在研究院一年半的时候，基本上Berkley能够讲授的所有数学课程我都听过，我去听，有时还在课里面讲课，不单是听，同时要真的去做。所以要花很多时间，我不相信你们愿花时间去做到这一点。大学跟研究生的时候，是最容易念书，也是了解全部基本工具的最好时候，否则你毕业以后，有种种不同的因素，要重新再念基本工具就困难得多了。所以我说你能够花多少时间就尽量花进去，基本的课程要尽量能够念，甚至我认为你能够去念理论物理，去念理论化学都很好，看你自己的兴趣，对你会有很大的帮助。当然你对实验物理也有兴趣最好，只是这样你不会来念数学了。
　　问：在大学的时代，尤其像我们大一应看些什么课外书或杂志?因为大一，很多东西还没学，应该多看多学不同的东西还是多做练习?譬如平面几何的练习或高中大学的练习?
　　答：不能笼统地这么讲，要看每一个人的程度。你大一基本的东西还没懂的话，还能看什么课外书?我不晓得你们大一念什么课?线性代数念不念?主要是念微积分?微积分念懂了没?念不懂就不要跟人家讲什么东西了。至少要将微积分念得很透，就是刚才讲过，你不要以为你要念代数，所以不念微积分，这是不可能的事，微积分在代数里面很重要，所以微积分你非要弄得很懂不可，否则的话，根本没有什么好讲的。课里面的书，你一定要念懂，习题要懂得做，这是第一点。习题要做不是为了考试，而是检验一下你对书里面内容有多少了解，然后再去念课外书，看你自己的兴趣。比如Hardy—Littlewood很多文章和书其实跟微积分有很大关系，或者你去看傅立叶分析，你可以看分析怎么应用到数论中。其实参考书很多，你尽量去多看一下。不过这跟每个人的兴趣有点关系啦!或者代数的书，线性代数都可以。
　　问：现在教科书，像微积分这类书，越写越厚，习题一大堆，对于这点，不知您的看法如何?
　　答：微积分至少有一千多本书，我不可能都看过。从前我们看从前的老书，老书其实很好的，我们大学的时候读Apostol的书，有两本，现在还觉得蛮不错的。在大学一年多时间里，我从那两本书中学了不少东西。里面的习题有一本比较容易做，深的一本较难做，我想都可以学学。从前英国式的如Courant或Hardy的书都写得不错，他们是做分析的专家，所以写的书有一定的深度。其实我们从前中学看过Hardy写的《不等式》，是很好的书。这本书对你以后帮助很大，就是了解不等式是怎么推导的，多学这个技巧，怎么弄不等式，我觉得很有意思。一般认为很奇特的东西不一定就比较重要，好像泛函分析啦，希尔伯特空间这些东西，并不见得最重要。微积分里面很多很基本的工具很重要，还有解题的方法也很重要。
　　问：我们念数学或上数学课的时候，往往感觉证明很长很长，弄不懂为什么这么证，又是怎么想出来的，念完整个领域，也搞不懂它在干什么?
　　答：这是一个很重要的问题，学生往往背了方法，记下来，定理就懂了，证明就完了，以为你基本上将定理背懂了，当然你因此考试可以考得很高分。不过，你要将一个定理想想，最重要的你要了解，为什么它要这样子做，究竟为什么要证明这个定理，这个定理有什么意思，这是第一步。然后你想想假设你不懂这个证明以前，你怎么去做这个问题，就是怎么样看待整个问题，这是很要紧的。为了要了解这个定理，你应该想办法，将整个定理看看有没有办法推广它，推广这个定理，最广泛的情形是什么样子?我并不是讲你为了推广定理而推广，这是一个学习的方法，从这个推广的过程你会慢慢了解这个定理的证明。你可以随便找个定理给我，我可以跟你们讲大概怎么样去推广它。
　　问：像隐函数定理?
　　答：你虽然没有学过希尔伯特，不过你可以试试在二维空间是怎么样的。你看隐函数是什么意思，试试看你有没有办法写下隐函数出来。隐函数定理就是从一个方程式，比如两个变量的，F(x，y)一0，试试看找出Y一，(x)满足这个方程，想想看怎么去找，你自然就会明白，隐函数定理是怎么证的，回家试试看吧!隐函数定理是用迭代的方法证的，整个隐函数定理的步骤也是如此，你可以试一个具体写下来的方程，你试试看怎么去证明它，你就可以晓得整个思路的过程是怎么样的。如果有计算机，你可以试试看这整个迭代过程里面，用计算机是怎么一步步操作的。运行几次以后，你就可以比较清楚怎么走，然后你可以改进算法，晓得整个思路是什么样子。并不是讲这个东西很多人想过，不过在不断改进的过程中，你对这个问题会了解很多。
　　隐函数定理推广到希尔伯特空间上面去以后，就成为一个很重要的偏微分方程的方法，你可以试试看隐函数定理在希尔伯特空间是怎么做的，这个推广很重要，当然你可能还没有学过希尔伯特，不过你大可以试试看，你因此可以将希尔伯特空问学好，明白这个无限维空间是怎么回事。应用隐函数在希尔伯特空间上，这可以用来解微分方程。隐函数定理是不动点定理的应用，你当然晓得，你看整个不动点怎么用，迭代压缩映射，那边可以有很多不同的做法。有很多人一辈子在做隐函数定理的应用。所以随便一个数学问题，你可以找到很多不同的讨论的地方。最简单的问题你都可以找到很多不同的有意思的地方，所以你这样子才会将数学看得比较活一点。
　　问：请问丘教授在大学时代，对数学就是这样尝试的吗?
　　答：为什么不可以呢?反正有时间嘛。你大学的时候其实最舒服，你做不到也没有关系，做得到最好，就有兴趣。譬如来讲，你玩玩计算机看看，你觉得好玩，就玩下去，不好就找另外一个问题再做，没有谁讲你今天做不出来就不行。所以我想，这跟游戏差不多，其实跟念文学也差不多，主要是看你有没有兴趣，你觉得有兴趣就继续玩下去，没有就算了。
　　问：老师以前读书的时候，有没有碰到读书的压力?
　　答：这个问题看你说的压力是怎么样的。譬如来讲，你考试总是希望拿到高分，尤其考微积分考算式，看你算得准不准，你怕算错了，这种压力当然有。不过如果你将整个微积分看懂了以后，这压力就不大了。就是说你已经懂了，你给个东西要我来微分、积分，我基本上会做，不过就是细节。譬如你要积分一个东西，积分出来刚好是它的答案，你当然会有这种压力。同时积分要用到不同的技巧，有不同的方法，你当然希望多学一些技巧，怕考试刚好要用到这个技巧，这种压力总是有的。另一方面，你对整个学问基本上懂了，在一方面你会比人家觉得没有压力。中学、大学都会有这种压力，有压力好过没有压力，假如你觉得很没压力，有时候，你根本觉得没有意思。
　　不可否认，每个人都有惰性，就是讲反正无所事事也好，不写文章也没什么关系，你就慢慢吞吞的，可是做学问没有这么简单，你要全盘了解，有一定的压力在，其实对你很好。你在学生的时候把考试的压力看得很重要，其实你考试的压力比你以后要写篇好的文章的压力轻多了。考试的压力，就是你们前几天
　　刚好在考试，你觉得很辛苦。有多少天?你顶多花十几天在里面，可是你毕业以后，你要做个好文章，你怎么晓得你有好的想法?你好像觉得很渺茫。另一方面，经验讲只要你用功的话，你总有一些好的想法，只要坚持不懈，你可以试十次，十次不中，第十一次中了就行。这跟下棋不同，下棋下错了举手无悔，不能重新改变，做研究你改变十次都没有关系，错了就继续第二个方法。所以问题就是刚才讲的，你错了第十次，假如你们有压力的话，就算了，不做了，有点压力，就再试第十一次，你就中了，这没有什么不好，所以我觉得压力对你是个好事，不是个不好的事。
　　照我晓得的，基本上所有好的、出名的数学家或是科学家，都有压力在里面，有些人骗你，跟你吹他完全没有压力，很潇洒的样子，是做出来的。我觉得近代科学家里面，最出名最潇洒的是Feynman，他讲话轻而易举的样子。Feyn—man的物理课是很出名的，可是每一个人都晓得他花了很多工夫备课。他最后的演讲很潇洒，举手投足之间，什么东西都讲得很清楚，其实他花了很多工夫去准备。Milnor写书也是写得很好，可是他也是花费了很多的工夫。
　　世界上是没有一个东西不花工夫就可以得到很好的结果，他可能刚好想了
　　很久以后，突然有段时间没有想，重新再想想出来。他那个时候想出来，好像不花吹灰之力，其实花了很多工夫。爱因斯坦是出名的物理学家，我在普林斯顿的时候，爱因斯坦所有的工作都在那边，爱因斯坦做广义相对论、量子理论花了很多工夫，天天都在想这个问题。压力可以说是同行间为了竞争做出同样的问
　　题，就有很大的压力。这压力你讲是其他人给的也好，你讲不是也可以。因为并没有特别道理一定要将那个东西解出来，所以跟你的兴趣也有点关系，好胜
　　心也有点关系。反正有不同的因素在里面。不过照我晓得，科学家总是有一定的压力在里面。很多人讲：“我是一个大天才，我今天要想出来就想出来。”没有这种事，很多人做成这样子给你看，也不是第一流的数学家会跟你这么讲，第一流的工作是尝试了很多次才做出来的。
　　问：请问丘老师，我还有两个问题!好几年前，我们常常听到美国有一些很聪明的华人学生，得到“西屋”(Westinghouse)科学奖，可是，过了一阵子后，这些人好像都消失了。那些聪明的华人都跑到哪里去了?以您在美国多年的经验，您的看法如何?是不是就像你刚才讲的，都跑去赚钱了?还有，您在中国北京当过客座，可不可以请您讲一下，那边学生读书的态度和这边的学生有何不同?据我所知，那边不管你从事什么行业，薪水都是一样的。所以他们很乐于做数学或比较基础科学方面的研究。
　　答：像“西屋”这个奖我觉得很好，因为一个学生要多方面思考才做得出来，当然很多是家长帮忙什么的，我就不清楚了。据我晓得拿“西屋”奖以后出来的，大部分都是很能干的科学研究人才。你问华裔拿了“西屋”以后都怎么样?因为其中的大部分都不念数学，所以我不能很明确地讲他们的前途是怎么样的。
　　不过很多出名的公司里面有很多出色的华裔工程师，有很多与学术界的联系并不是那么密切，所以不一定听过。不过，有些华裔在美国，或中国台湾、香港、大陆很早毕业或很早什么的，反而有很多以后不行的。我想这跟“西屋”有一点点不同，因为很早毕业其实没有什么了不起，什么东西都没有搞通，你早毕业反而对你有坏处，所以有很多出名一下子后就消失了，我倒可以讲，我也可以了解他们为什么不行。“西屋”奖得主中因为念数学的不多，所以我不能跟你讲。
　　这五六年来，中国大陆念数学的也很少，原因就是因为现在在中国念工程念商学赚钱比较容易。十多年前中国大陆要出国留学，要到美国留学的，基本上他们是要念理论科学，数学、物理，所以那个时候出国念数学、物理的很多，他们也为了这个很用功，当然里面也有不少为了学问而念学问的，不过很多是为了出国而念的，我想。最近几年因为中国大陆的经济比以前好多了，所以他们念数学的少多了，跟中国台湾有什么不同?我觉得反而这几年中国台湾还比较好一点，我想因为中国台湾钱多了，没有什么特别道理一定要念数学，所以大部分念数学的可能是对数学兴趣大点才来念的，所以中国台湾以后培养好的数学人才反而容易一点，希望如此。另一方面，中国有十多亿人口，要找到念数学的人还是有的，好的人才还是有的。
　　问：我们在做作业解问题的时候，常常想了很久都不知道该怎么办，可是翻开解答一看，它的想法实在非常怪异，不晓得我们要如何去了解这种怪异的想法?它在我们学习数学的过程中扮演什么样的角色?对我们整个思想又有什么影响?
　　答：我不懂你说的什么叫怪异?一个数学题目的解决，往往有很多不同的途径，尤其你们还没有做研究的经验。你讲的怪异是花了很多工夫来解决，或是很自然的解法?
　　问：只要以几个步骤就解决了，然后你会很惊讶。
　　答：其实这对你有个好处，你能够懂得惊讶就对你很好，你要看懂了解决的方法，你就对解决的方法很难忘掉，对不对?假如你不惊讶你就背下来，一下子就忘掉了，这对你根本没有好处。每一个解决问题的方法，假如跟标准的书里不同的话，这是一个工具，可以讲是解决一个题目的方法的工具，逐渐积累起来以后，就是等于一个工程师他口袋里有很多不同的小工具。等你做其他问题的时候，这个工具可以重新再去用，所以为什么学生应当去解题目就是这个缘故。就是一方面你晓得一个数学的大方向，一方面你口袋里面要有很多工具。
　　有很多人讲哲学，讲理论，“我认为数学怎么样子，怎么样子”，结果真正到了要解决一个问题的时候，口袋里面没有一定的工具。一个大房子盖的时候，你可以晓得基本上的工程是怎么盖的，可是你不能够就这样讲就算了，到了你真正要去盖的时候，就发觉这边要上螺丝，那边要上铁条，你不懂得上你就盖不起来，就是这个意思，所以做题目很要紧就是这个样子。基本上，如果你没有想之前就看那个解答，看了以后，这很简单嘛!基本上就是这一边乘一乘，那边除一除就行了。可是，你先想那个题目，再去看解答，你才了解，这个解答并不是那么容易的，你搞一搞就搞不懂，为什么他就搞得懂?所以你一定要先想题目再看解答，一定要学这种工具，这种很奇异的解答要将它学会，学会以后，第二次再出现同样的问题，你就可以用。

六、数学家丘成桐谈为学：年轻人应因科技而崛起

数学家丘成桐谈为学：年轻人应因科技而崛起

    牛顿、爱因斯坦、克里克、沃森、费曼和杨振宁等人最重要的工作都是在他们年轻时做出来的。

　　演讲人：丘成桐

　　从历史的变革讲起

　　要持续发展，提高生产力，就要朝高科技化的目标前进，否则中国只会永远为全世界的先进国家服务，从中拾取微小的利润。

　　今天讲的题目是梁任公从前讲过的题目。

　　梁启超，号任公，广东新会人，是中国20世纪初重要的启蒙学者。他和康有为发起的维新运动，虽然不尽正确，而且也以流血失败告终，但它却引起了国人的注意，认识到必须从根本上去改变腐败的清政权。辛亥革命以后他在清华大学做教授，成为清华国学研究所四大导师之一。四大导师里还有大史学家陈寅恪先生，解放后，他一直在广州的中山大学任教。

　　鸦片战争是中国近代史上一连串耻辱的开端。广东同胞为国而战，多次击退入侵的英国军队。差不多有两百年，广东始终是国家开放的先驱。改革开放的第一个特区是深圳。它得到广东省和香港的强力支持，由于南方同胞早已习惯了西方的思想，特区开放很快就成功了。

　　改革开放已经三十年了，它的成就是举世公认、有目共睹的。向来轻视中国的欧美强国也开始对我们另眼相看。三十年来中国的老百姓胼手胝足，辛勤工作，为国家创造了大量的财富，这有赖于中央采取了正确的政策，以稳定作为休养生息的基础。现在，三十年来的发展已经到了一个成熟的阶段，我们的工业仍然以廉价劳工为主导，很明显这是没法再走下去的。要持续发展，提高生产力，就要朝高科技化的目标前进，否则中国只会永远为全世界的先进国家服务，从中拾取微小的利润。

　　科技VS基本科学

　　近年来，韩国的科技突飞猛进，听说韩国政府要成立五十个以基础科学为主的研究中心，每个中心每年投入的经费为一千五百万美元。

　　高科技化是亚洲所有地区、国家都想做的事情。日本最早成功，跟着有所谓“四小龙”的兴起，即韩国、新加坡、香港和台湾。这十多年来，由于政治和经济的稳定，使中国大陆在经济上领头，变了“妈妈龙”，成为仅次于美国的世界第二大经济体了。

　　如何把中国的高科技搞上去，是一个值得深思的迫切问题。在座诸位都是国家的菁英，我想你们都关心这个问题。以下是个人的一些想法。

　　一个多月前，湖南长沙的国防科技大学请我作了一个演讲。演讲后我参观了他们建立的大型计算器。去年，这部计算器通过了国际评估，两位Stanford、一位Berkeley的计算器教授和另一德国教授组成的专家小组宣布它是全世界最快速的计算器。百闻不如一见，交流以后，我感到很兴奋，这是中国独自完成的高科技产品的重要标志，我向参与这项计划的教授和工程师们致以崇高的敬意。

　　在长沙时，我请教他们的院长，如何能让这批一流的教授和工程师聚在一起，苦干十年，完成这个举世瞩目的工程。他说他们学院的士气和学风都很好，年轻人待遇不错，以能够做出一流的工作为荣。安定的环境、对自己的信心和为国家、为学院争取荣誉的决心，的确是进行研究的推动力。

　　另外一个经验是在多月前，我受邀到了酒泉神舟火箭的发射基地，和清华大学几位教授参观神八登空的壮观场面，这是我第一次参观宇宙飞船发射。看着祖国的火箭冲天而起时，内心感动不已。基地的领导说，整个宇宙飞船的建造、组装和发射等等工程，牵涉到八个部门的合作，每部门有一万多人。这是一个极大型的系统工程，其中不容许有任何错误。这次参观使我对中国工程师的组织能力极为钦佩，他们做事认真，值得全国人民学习。

　　从这两个由军队指挥的研究中心里，我看到一个共同点，就是他们都理解到基本科学的重要性，他们问了我一些基本的数学问题。近年来，韩国的科技突飞猛进，听说韩国政府要成立五十个以基础科学为主的研究中心，每个中心每年投入的经费为一千五百万美元。事实上，先进的欧美俄日等国家都有同样的理念，比韩国还要早。我希望中国也能认识到基本科学对科技兴国的重要性。

　　年轻人应因科技而崛起

　　崛起不是经济或军事的崛起，而是科技的崛起。现在中国科技的创新不如欧美，但在经济比较充裕和国家比较稳定的客观环境中，十年内将会见到重要的成果。

　　现在，我们来谈谈今天的主题。我认为中国科技的发展，在这几年内将有巨大的转变，这是年轻人做一番事业的大好时机，也是中华民族崛起的宝贵时刻。我说的崛起不是经济或军事的崛起，而是科技的崛起。现在中国科技的创新不如欧美，但在经济比较充裕和国家比较稳定的客观环境中，十年内将会见到重要的成果。当然，这些进展将要靠年轻一代，同心协力来完成。科技创新的崛起，是经济崛起的基础。

　　我想，同学们都会惊讶：我们还是本科生，很多学问都没有学过，你凭什么说十年内我们会对科技有重要的贡献？那是因为你们太小看自己了。你们把基本科学学好，技术熟练后，很快就可以海阔天空地去闯、去创新了。回顾历史，大部分科学上的突破，都是在科学家三十岁以前完成的。

　　牛顿、爱因斯坦、克里克、沃森、费曼和杨振宁等人最重要的工作都是在他们年轻时做出来的。这些划时代的，甚至可说是惊天地、泣鬼神的工作，虽然成于少时，但决不是凭空创造的。事实上，它们都是有迹可循，经过艰苦学习，多次失败，最后才成功的。

　　做学问的态度

　　找到正确的方向，做重要的问题。决定后便勇往直前，义无反顾。

　　记得我年纪与你们相仿时，懂得的东西实在不多。上世纪60年代香港的数学博士也就不过寥寥几个，图书馆收藏的数学书也不见得比一般的书店多。我看的数学书，大部分是国内版，或托友人到台湾买来的盗版外文书，种类少得可怜。但是，我从来没有放弃过做大数学家的念头。我看了所有能够看到的数学书，最重要的，是做了书中的所有习题。这并不是课堂上老师要求的事情，我努力去做，一方面是出于兴趣，一方面是知道要成为优秀的学者，必须将基础打好。四十年来我每天都在学习，但还是要承认，在中大学时打下的基础是最重要的。

　　学习的过程，不可能是无往不利的，最重要的是找出自己的弱点。做习题正是找出自己弱点的门路。当然，听课、发问和与同学交流也非常重要。我在大学时的数学水平已远超同侪，但是和同学交流，还是有很大的好处的。我给同学解释课题时，往往发现自己还未理解清楚的地方，由此温故知新，得益不少。即使到了今天，有时在给学生讲解的一瞬间，往往灵光一闪，找到新的想法，解决了一些难题。

　　做学问，尤其是有深度的学问，不是靠一时的冲动就可以完成的。我们听人讲故事、看电影，作者为了将气氛营造得更为动听，往往戏剧化地说某人灵机一动，解决了重要的问题，完成了一些前无古人、后无来者的学问，而且不倚靠任何其他人的想法。在Good Will Hunting这部电影中，描述一个在MIT的清洁工人，没有经过学习，却在一个夜晚，解决了一个有名的数学难题。我可以跟你们说，这些事情历史上从没有发生过，我也不相信以后会有。

　　科学界研究的题目多如牛毛，但重要的只占少部分。其余大部分项目很快便可以做出成果，因此每天都有成千上万的论文发表。假如每篇文章都有创见的话，人类的科学成果将会远远超过今天了。话说回来，文明毕竟是累积的，科学的突破往住建基于众人思想的融汇。即使不太重要的发现，只要有新的意思，也是有价值的，这样就能发挥所谓集腋成裘的作用。至于有学问的大师，有更独特的创新贡献，承先启后，引领风骚，但是他们的工作毕竟还是在前人工作的基础上完成的。

　　要懂得做好学问，必须了解科学发展的过程。我经常鼓励学生去读名人传记，了解著名学者如何学习、克服挫折和开拓新的方向。我的专业虽是数学，但在阅读其他学科名家的成功经验时，也会深受启发。

　　记得读詹姆·沃森（James Watson）写的一本小书，书中描述他与弗朗西斯·克里克（Francis Crick）发现DNA结构的一段故事。他们为了研究生物的基本结构，三年间完成了20世纪其中一个最伟大的科学杰作，其过程可以说引人入胜，但也不乏奸诈之道。

　　当时詹姆·沃森才二十出头，跟你们年纪不相上下。他的基础虽然很好，但是成功的主要原因是靠无比的专注和热情，深信可以攀登生物学的高峰，完成人类有史以来最重要的一项工作之一。他找到一个好搭档，那就是弗朗西斯·克里克。他们合作期间，曾遇上停滞不前的低潮，但他们并没有放弃，透过学习并利用同行最新的结果，终于比竞争对手莱纳斯·鲍林（Linus Pauling）早一步，测定了DNA的结构。

　　从詹姆·沃森的故事中，我们可以看到以下三点：

　　年轻人要有充实的基础知识。一但碰到重要问题时，能有足够的工具来解决它。即使工具不够，也懂得找合适的学者合作。西斯·克里克就是詹姆·沃森的合作者，他们的知识是互补的。

　　做学问要有热情，有了热情才能够专注。重要的成果往往需要三年、五年甚至十年才能够完成。

　　找到正确的方向，做重要的问题。决定后便勇往直前，义无反顾。

　　这三件事情可以说是显而易见的，但真正实行时，却不见得人人能够做到，这是甚么原因呢？

　　我们逐点来讨论。

　　所谓充实的基本知识是多方面的。以本人为例，我是研究几何的。年轻时喜欢数学的严谨性，从数理逻辑中看到数学的真和美，虽然我并没有研究这门学问，我却知道它在何处发挥作用。但是我本人没有掌握到数理逻辑的基本技巧，所以始终是一个门外汉。

 

 

　　本世纪人类的知识突飞猛进，跨学科的知识更是如此。事实上，大部分创新的科学都是透过不同学科的融合，擦出火花来完成的。很多人都同意这种看法，但却忘记了一个重要的事情，就是有能力融合不同学科的学者，其能力和知识水平都要跟这些不同学科的专家相约，即使在某方面的知识跟不上，他也能理解问题的困难所在，找合适的专家求教。当然，满足这些条件的科学家实在不多。

 

　　中国有不少专家只注重科学的应用，而不愿意在基本科学上下工夫，这是十分肤浅的。事实上，从工业革命以来科技的突破，无不源自基本科学的发展。对基本科学的认识不够深入，只满足于应用而沾沾自喜，终究是尾随人后，依样画葫芦罢了，更不用说有能力做跨学科的学问了。

　　十多年来，我在中国见到不少应用数学家有这样的毛病，即基本功夫不够坚实，却鼓吹交叉学科的重要性。这样做反而把本来应当发展的基本学科也推迟了，正是“画虎不成反类犬”。

　　同学们年轻时务必踏实，将基本学科学好,同时也应研习应用科学，因为这些知识能增长见闻，使我们对学问有更宽广的认识，一方面帮助我们了解基本科学的真谛，一方面在应用基本科学的原理时，能够得心应手。进修理工科的同学，必须学好微积分。至于语文训练，则是所有同学都应该熟习的。

　　这种训练，只是成为真正学者的第一步，假如想进一步立言以至于古人所说的“不朽”，则可以看看韩愈《答李翊书》里的描述：“将蕲至于古之立言者，则无望其速成，无诱于势利。养其根而俟其实，加其膏而希其光。根之茂者其实遂，膏之沃者其光晔。”“始者，非三代两汉之书不敢观，非圣人之志不敢存，处若忘，行若遗，俨乎其若思，茫乎其若迷。当其取于心而注于手也，惟陈言之务去，戛戛乎其难哉……虽然，不可以不养也。行之乎仁义之途，游之乎《诗》、《书》之源，无迷其途，无绝其源，终吾身而已矣。”

　　古代的学者以四书五经为各种学问的源头。现代学问则宏大得多，除传统文化外，还要加上东西方的哲学思想、历史、文学和艺术。

　　当然还有科技，它描述大自然最真实而美的一面。我们通过基本物理、数学和生物等学科来掌握它。

　　一个胸怀大志的学者，必须有远见。有的想了解宇宙的结构、星体的运行和粒子的基本原理；有的想了解生命的起源、人体的构造和疾病的疗法；有的想了解流体的变化和计算机的运作等等，这都是发人深省的问题，值得我们去追求。

　　有了这些目标，而又具备适当的基本训练后，就要找最好的问题，努力去解决它。志同道合而又跟你在知识上互补的朋友是很要紧的。良师益友和优秀的学生，使我学问得益不少，和他们交流可以说是赏心乐事。

　　有深度的工作往往需要花很多工夫才能够完成。在失败后再尝试，屡败屡战后才能成功。能持久必须要有热情，要高瞻远瞩。

　　首先，要达到王国维先生所说“独上高楼，望尽天涯路”的境界，才知道自己想做的学问确有意义，值得奉献一生的精力去完成。

　　追求学问的热忱需要培养，这关乎一个人的情操。如何除去名利的羁绊，让我们欣赏大自然的本能毫无拘束地表露出来，乃是培养学问感情的第一步。屈原说：“纷吾既有此内美兮，又重之以修能。”就是说有了这种感觉以后，再加上努力，就可以做大学问了。

　　我有幸接触过不少伟大的学者，他们在工作上执著入迷的程度，只可以用欧阳修的词句来描述：“人间自是有情痴，此恨不关风与月。”从这里自可窥见他们成功的因由。宋徽宗的词云：“怎不思量？除梦里有时曾去。”很多重要的创作发明，是学者在有深厚感情的潜意识中完成的。

　　如何去找正确的方向？这是一个很困难的问题，一方面要有师友的帮忙，一方面需要有浓厚的好奇心。大自然无穷无尽，现象万千，其中必有某种现象使我感到疑惑，从而心动，从而兴奋不已。于是本着好奇心，锲而不舍地找出此现象背后的原理，这是创新的第一步。然后，继续发扬光大这些研究，以至完成为一套有意义的理论。

　　我们谈为学到此，现在可以谈谈做人了。

　　谈做人

　　高尚的情操需要培养和坚持，良师益友、先哲懿范、文化修养都是培养这种情操不可缺少的。我希望青年人能克制私欲，以真挚的感情来欣赏和理解大自然的奥秘。

　　其实，我已经谈了不少做人的道理。当你全心全力去做学问的时候，实在找不出时间去做不应当做的事。反过来说，对权力或物质的欲望，窒碍了做学问的热情。我看见某些朋友、学生做学问的态度，不禁慨叹权力欲望愚弄人如此。高尚的情操需要培养和坚持，良师益友、先哲懿范、文化修养都是培养这种情操不可缺少的。我希望青年人能克制私欲，以真挚的感情来欣赏和理解大自然的奥秘。

　　太空中的星辰，

　　几千年来毫无更动，

　　它们彼此面面相觑，

　　怀着爱情的悲痛。

　　它们说着一种语言，

　　十分丰富而美丽，

　　可是任何语言学家，

　　对这种语言都茫无所知。

　　我倒曾把它钻研，

　　而且铭记不忘；

　　我所依据的文法

　　就是我爱人的面庞。

　　——海涅（钱春绮 译）

　　这首诗使我想起每个人在年轻时，都怀着赤子之心。我们关爱家人、朋友，也爱慕异性，对事物充满好奇。我们何不继续保持这份赤子之心，培养孟子的“浩然之气”，昂昂然做一个顶天立地的大丈夫？我们何必受到外界的影响，要富且贵才觉得舒适？学者有了独立的精神，自由的意志，方能创出不朽。

　　除了纯净自我的境界外，我们也要注意与家人的相处、与师友的交往：一个稳定和谐的家庭，一个尊重知识的家庭，使我们能够安心去做学问。反过来说，对父母、对师长不尊重，很难想象这种人会尊重有学问的学者，更难想象他们能够做出色的学问。所以宋儒强调：“修身、齐家、治国和平天下。”

　　近代科学的发展日新月异，重要的突破往往是群体的工作，而非一人一时所能够完成的。做理论的学者须知道实验的结果，搞实验的学者须要有理论的指引，才能够完成前沿的科学工作。在大型的学术合作中，我们要有谦虚的态度，宽宏的胸襟。除了“审己以度人”外，也应当“审人以度己”。为什么要审人以度己？因为个人的处境、志趣不同，能力也不同，不能单纯以自己的处境和能力来衡量对方，这样的合作才能够愉快。一般科学的合作不可能很精确地计算谁的贡献最大，总要采取宽容的态度，让以后的合作能够做出更多的成果。

　　创新的科学都是“在巨人的肩膀上”推进的，在时机成熟时，不同地方的作者，往往在不同的场合有着类似的想法，而得到相同的结果。如何处置这些竞争的问题，影响到学者的声誉，很多学者在处置这些竞争时失败了，甚至于一蹶不振。我们须要学习如何处置这种不愉快的经验，从失败中站立起来。

　　学术竞争不一定是公平的，科学史上不乏大学者在竞争中愤愤不平。曹丕说：“夫人善于自见，鲜能备善。”指出我们容易看到自己的贡献，却忽略了他人想法的重要性。

　　然而，学问的道路是长远的，一个优秀而有毅力的学者，在得到优良的成果后，总会得到他们应该得到的重视。一时的失意不应该影响我们一辈子的成就，所以年轻人必须沉得住气，不断努力，不停地摸索，正如屈原所说：“路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。”

　　寻求真理的路并不容易，但成功时的喜悦却无与伦比，这种喜悦有如看到造物的真谛，并非金钱和权力的感觉所能比拟。但我们须要牢记：成功的路必须由自己去耕耘，这种成功才会带给我们一个纯真的喜悦感。一些作者凭借抄袭、造假或政治手腕得到的成功，恐怕难以得到同样的感觉。

　　愿我们同学也能享受这种至高无上的喜悦，为学术、为祖国的建设努力。

七、丘成桐谈数学教育：不可忽略基础知识和技能！2011年09月05日　 作者：柳霞 计亚男　　来源：光明日报

做事务实苦干，讲话单刀直入，为中国的人才培养、科学研究作出巨大贡献——数学大师、国际著名教育家、现任哈佛大学数学系主任丘成桐先生，日前在第二届丘成桐大学生数学竞赛决赛期间，接受了本报记者的专访。
　　
　　记者：为什么要举办中国大学生数学竞赛，您的初衷是什么？对这次竞赛又有哪些期待？
　　
　　丘成桐：我发觉中国大学生的数学水准有下降趋势。十几年前，我们大学生参加世界一流大学的博士资格考试，一般没有问题，而且还考得很好。可是，近些年来出现了问题，包括北大清华在内的名校学生，往往第一次考不过去，要第二次考才行，有的甚至第三次都考不过。
　　
　　这件事很丢脸。这些年，我在哈佛大学任数学系主任，看到中国有的学生进来读博士，推荐信写得很好，但遇到考试就碰壁了。
　　
　　我们的中学生考试考得太多了，很多大学生进入大学之后就松懈了，基本功没有得到很好的巩固，有很多中国学生认为自己拿了奥数的金牌就很成功，不再花费时间去努力了。
　　
　　举个例子，去年哈佛大学的博士资格考试满分是160分，很多外国学生的平均分在140分左右。可是，我们中国学生一般只有80分、90分。不好看啊！我觉得，这些小孩子都很有天分，只要假以时日，他们通过这样的考试并不难。
　　
　　我认为这里主要的原因是，他们在中国念书的时候，基本功课没有学好。老师们只注重所谓的研究，没有好好地带学生。所以，我们希望通过竞赛形式改变这种状况，来提高大学生的数学水平。我们不考刁难人的问题，只考基本的知识。竞赛结果显示，有些名校学生并不行，有的不那么出色学校的学生，反而成绩还好些。这样就能看明白，哪些学校是下了工夫的。
　　
　　记者：您在去年7月11日，曾提出倡议要举办中国大学生数学竞赛，并真诚地致我国数学同仁一封公开信。请您介绍一下公开信的主要内容有哪些？
　　
　　丘成桐：好的。培养一位好的数学家，一个重要的步骤是在他们开展研究工作时具备数学的基础知识和技能。为此，世界主要的数学机构都为研究生设置资格考试。中国好的学生应该能通过世界上主要数学机构的资格考试，例如哈佛、斯坦福、伯克利、普林斯顿、哥伦比亚等大学。
　　
　　可是，近年来，这些来自中国高校的学生常常有通不过资格考试的情况。中国大学生数学竞赛的竞赛内容将足够广泛与基本，这样将有助于为中国和世界的数学机构提供良好的数学生源，为中国和世界的数学发展培植深厚的土壤。
　　
　　这样的竞赛，还可以为没能进入到中国顶尖大学的学生提供公平的竞争机会。这一点很重要。一个高中生可能有很多原因使他（她）没能进入到顶尖大学，例如运气不好、身体不适、贫穷或者不成熟等。我们应当给他们一个机会。现在经常有来自中国大陆的学生，大谈数学的哲学，而不能坐下来做扎实的计算。这个竞赛的内容就是数学的基本知识与基本功，通过这个竞赛将能够非常有效地改变这种状况。
　　
　　记者：这次整个竞赛活动基本上都是您的想法。许多细节，例如用特殊的考试方式以避免作弊，奖杯、奖章的设计等您都花费了许多精力。同时，您领衔的学术与命题委员会成员中，有不少是来自世界一流的数学家，请您介绍一下这方面的情况。
　　
　　丘成桐：参与这次竞赛的学术与命题委员会的老师很多，特别是国内数学界鼎力相助。我们有30多位评委，有五六个是外国人，有的是专家，有的是世界一流的大教授，比如英国皇家院士、剑桥大学教授约翰·科茨、中国科学院院士杨乐、加州大学洛杉矶分校教授刘克峰、斯坦福大学教授李骏和香港大学教授辛周平等，参与出题和阅卷的有舒其望、刘军、张寿武、严加安、席南华、郑方阳等教授，参与竞赛组织活动的有尚在久、王跃飞、许洪伟、肖杰、吴泉水等教授，还有胡森、曹怀东、段海豹、唐梓洲教授、徐浩博士等，他们对于规范考试的程序作出了很大的贡献。
　　
　　记者：通过这两届大学生数学竞赛，对中国大学的数学教学有没有触动？
　　
　　丘成桐：以前，国内的大学数学教程内容，一般都没有涵盖这么多的内容，比如有的学校的数学专业的基本课程，只是教了前面章节部分，后面部分的内容没有教完。现在的情况就不一样了，不仅老师们想教完，学生们也想念完。我们考的是基础知识，就像是少林武功，你连站桩都没有站好，那怎么去练武功呢！现在，有了我们这个竞赛，不仅激励了学生，也激励了学校的数学教学。许多大学教授也重视起来，在教学内容上也包括这些内容，调整了教学内容，他们也希望让自己的学生能够考取世界一流大学的博士资格。
　　
　　这个竞赛是影响国内数学发展的重要事件。按现在的做法，申请出国的应届本科生，没有在国内获得保送研究生的资格。其结果是，获奖的学生全都出国了。这样导致国内的高校，包括清华、北大，留不下这么好的学生来做研究生。对于考生来说，如果能拿到这次竞赛金、银、铜奖的话，能够有更好的机会进哈佛等世界名校念书，至少进去的时候，他的水平与别人差不多。这样的话，就可以在全世界范围比较一下，我们中国的学生水平到底怎么样！否则，我们老是躲在角落里，说自己行，但不知道自己的水平在世界上到底怎么样！（来源：光明日报）

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