面试经典动态规划，n个相同火柴分堆

题目描述：

现在有n个相同火柴，将这些火柴分成若干堆，问所有的分法总数。

题目分析：

初见题目第一反应是采用组合数学的方法来计算，有种叫Stirling数的组合数。他表示将n个不同物品分到k堆里，注意这里是n个不同物品，所以不能采用stirling数。

那么我们简单的做几个尝试好了，假设n=4,那么可以分如下几种：

4

1,3和 3,1算一种

2,2 

1,1,2和 1,2,1 和 2,1,1算一种

1,1,1,1

这5个序列看似没有规律，但是我们还是能找出规律的，（1）中最大堆的根数是4，其他堆的总和是0;（2）中最大堆的根数是3,

其他堆的总和是1;（3）（4）中最大堆的根数是2,其他堆的总和是2,其他堆中的最大也不超过2;（5）中最大堆的根数是1，其他堆的

根数的总和是3，其他堆的最大根数也不超过1。

所有的情况综合起来就是：4个火柴分堆，有可能最大堆的根数是4,其他堆的总和是0,最大根数也是4。或者最大堆的根数不是4

而是3，就属于n个火柴分堆，但最大堆的根数不超过3这种情况了。然后依次类推。

所以可以总结递推公式是dp(n,k) = dp(n-k,k) + dp(n,k-1)。这里n是火柴总数，k表示分堆时最大堆的根数是k。dp(n,k)表示所有分

法的总数，dp(n-k,k)表示确实有分出去一个堆，该堆的根数是k的所有分法，那么剩下还没有分的火柴是n-k根。dp(n,k-1)表示，所有

没有堆的根数到达k（就是所有堆的根数都<=k-1）的所有分法。

那么我们的目标就是求dp(n,n)。在此我们添加边界条件,dp(0,i) = 1,i >= 0;dp(j,0) = 0, j > 0;

伪代码：

for(i = 0; i <= n; .i++)dp[0][i] = 1;

for(j = 1; j <= n ; j++)dp[j][0] = 0;

for(i = 1; i <= n ; i++)

for(j = 1; j <= i; j++)

{

int tmp = 0;

if(i - j > j)tmp = dp[i-j][di-j];

else tmp = dp[i-j][j];

dp[i][j] = tmp + dp[i][j - 1];

}