视觉SLAM的数学基础 第一篇 3D空间的位置表示

视觉SLAM中的数学基础 第一篇 3D空间的位置表示

前言

　　转眼间一个学期又将过去，距离我上次写《一起做RGBD SLAM》已经半年之久。《一起做》系列反响很不错，主要由于它为读者提供了一个可以一步步编码、运行的SLAM程序，为读者理解SLAM实现的细节作了详细的介绍。但是我也有很多对它不满意的地方。作为面向实现的介绍，它的代码不够稳定可靠，例如，甚至没有对匹配丢失的情况进行处理，因而只能用于教学。另一方面，对SLAM研究者来说，我只是介绍了编码方面如何调用一些常见的库函数，而没有对这些函数进行深入的，原理上的讲解。这就导致了读者只了解了函数的接口，而没法根据数学原理进行创新。归根到底，研究机器人相关问题，一是要有扎实的数学基础，二是要有强大的动手编程能力，这对大多数刚入门的研究者来说，极具挑战性。我也希望，通过阅读我的博客，你能走进SLAM研究的门槛，有朝一日自己也写出优秀的程序和论文。

　　有鉴于此，我准备写一写SLAM相关的数学知识，包括代数、几何、概率、运筹等等。对于重要的算法例如ICP，EKF，细致讨论它的原理，并给出它的实现（原生的代码或在某个库的实现）。由于它们的原理较复杂，我会从最基本的东西开始讲起。但是我毕竟不是在写数学书，我不会像数学书那样写成``定义——定理——推论”的结构。我们不会纠缠于一些定理的严格证明，相反的，我们只在必要的情况下加以说明，告诉读者这些数学公式在SLAM中有何应用，如何应用。

　　由于博客编辑器的限制，我们以斜体字xx表示变量，以粗正体AA表示矢量和字母，以黑板粗体RR表示空间。希腊字母没有粗体所以保持原样。向量默认为列向量。其余和普通的数学书一致。 

　　小萝卜：师兄，这么严肃不是你的风格啊！

　　师兄：啊，数学嘛……

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刚体运动

　　本篇我们讨论一个很基础的问题：如何描述机器人的位姿。这也是研究SLAM的第一个问题。注意这里“位姿”的用语包含了位置和姿态。描述位置是很简单的。如果机器人在平面内运动，那么用两个坐标来描述它的位置：

• 齐次坐标可以方便地将平移与旋转放在一个矩阵中。

　　师兄：这应该是最明显的好处啦！大家都爱用齐次坐标，包括我。有关坐标系怎么用齐次坐标进行变换，后文会详细解释。现在我们能表达点了，还剩下一个姿态。由于2D与3D差别较大，我们分而述之。

2D姿态的描述

 3D变换