动态规划（1）0-1背包同类型习题

先看0-1背包问题，背包可承受重量为w,有n个物品，它们的价值和重量分别为vi , costi (i=1~n),问背包最大可以装多少价值的物品。

我们定义一个函数F(w,i)，表示可承受重量为w的背包，对于1~i号物品选择若干个装入背包的最大价值。

那么对于物品i可放或者不可放，因此有

选择不放入i号物品有F( w,i ) = F( w, i-1 ) 

选择放入i号物品时F(w,i) = F( w-costi , i-1 )+ vi

当然选择放入i号物品的前提条件是i号物品可以放入，即costi<=w

综上有

并且，,有F(0,i)=0(i>=0), F(w,0)=0(w>=0)

在使用循环画表格的时候需要注意：

欲求F(w,i)得知道F(w,i-1), F(w-costi,i-1)，我们将F(w,i)看成二维数组中第w行，第i列，那么即是要先计算w行，i列的上方和左上侧元素

为了求出背包有最大价值时放入的物品，我们从上面的分析知道当F(w,i)=F(w-costi,i-1)+vi时，第i个物品在背包内，因此从表格末位向上搜索即可

所有代码如下：

#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;struct _goods {int cost ;int value ;} ;void knapsack(int w, int n, struct _goods goods[ ] ){int dp[100][10] ;for (int i = 0; i < 10; ++i)dp[0][i] = 0 ;for (int i = 0; i < 100; ++i)dp[i][0] = 0 ;for (int j = 1; j <= n; ++j)//注意循环的顺序for (int i = 1; i <= w; ++i)if (i >= goods[j].cost)dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], goods[j].value + dp[i - goods[j].cost][j - 1]) ;elsedp[i][j] = dp[i][j - 1] ;cout << dp[w][n] << endl ;for (int i = 1; i <= w; ++i) {for (int j = 1; j <= n; ++j)cout << dp[i][j] << "  " ;cout << endl ;}int weight = w ;for( int i=n; i>=1; --i  )if (dp[weight][i] == goods[i].value + dp[weight - goods[i].cost][i-1]) {cout << i << "  " ;weight = weight - goods[i].cost ;}cout << endl ;}int main(    ){int w, n ;cout << "输入背包可承受重量和物品个数" ;cin >> w >> n ;struct _goods goods[11] ;cout << "输入物品重量和价值" <<endl ;for (  int i=1; i<=n; ++i ){cin >> goods[i].cost >> goods[i].value;}knapsack(w, n, goods) ;return 0;}

下面再看另一题

对于n个不重复的数，我们要从中选出若干个数使他们的和恰好为m，求有多少中选法。

和0-1背包相同，都是选择或者不选择，写出递推表达式即可

对于数据datas[1~n],和m，我们定义F(i,m)表示从datas[1~i]中选择若干个数和为m的方法数。

因此有

如果不选择第i个数有 F( i,m ) = F( i-1,m )

如果第i个数小于等于m，我们选择第i个数有F( i,m )= F( i-1, m-datas[ i ] )

因此当datas[ i ] <=m 有 F( i , m ) = F(i-1,m)+ F( i-1, m-datas[ i ] )

当datas[ i ] > m 有 F( i,m ) = F( i-1 , m )

对于F(i,m)，我们根据以上分析知只需要求出 F(i,m) 的上方及左上方的元素就可以求出F(i,m)

因此我们初始化F(1,x)( x<=m )即可，F(1,datas[1])=1,其余为0，

m-datas[ i ]有可能为0，当m=0的时候定义F(i,0)=1。也可以将datas[i]<=m分为小于和等于两种情况讨论

代码如下：

#include <iostream>using namespace std ;int n,m;//数据个数，需合成数int _datas[11];void  thesolution(      ) {int dp[11][100] ;for ( int i = 1; i <= m; ++i) {if ( _datas[1] == i )dp[1][i] = 1 ;elsedp[1][i] = 0 ;}for (int i = 2; i <= n; ++i)for (int j = 1; j <= m; ++j)if (_datas[i] < j)  dp[i][j] = dp[i - 1][j - _datas[i]] + dp[i - 1][j];//包含与不包含else if (_datas[i] == j) //datas[]中无重复数字dp[i][j] = 1 + dp[i - 1][j];//包含与不包含elsedp[i][j] = dp[i - 1][ j ] ;cout << dp[n][m] << endl;}int main(   ){cout << "输入数据个数与和";cin >> n >>m ;cout << "输入数据" << endl;for (int i = 1; i <= n; ++i)cin >> _datas[ i ] ;thesolution(   ) ; return 0;}

对于输出所有和为m的集合，我本想着先从F(n,m)到F(1,m)分别向上回溯表格，后来想这样好像不行

如果你知道怎么做请告诉我！！

另一个问题，如果给你n个数，取出若干个数求乘积恰好是m要你求出组合数目，以上讨论应该知道了吧。注意余数要为0

0-1背包参考教材《算法设计与分析基础》（Anany Levitin著，第三版）