约瑟夫环的数学优化方法

首先，约瑟夫环的数学优化方法为：

        为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

      我们知道第一个人(编号一定是(m-1)%n) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）: 　　   k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2 　　并且从k开始报0。现在我们把他们的编号做一下转换：

      k --> 0 　　k+1 --> 1 　　k+2 --> 2

       n-1 --> n-1-k     0--> n-k   

        ... ... 　　

     k-3 --> n-3 　　k-2 --> n-2

     序列1： 1, 2, 3, 4, …, n-2, n-1, n

     序列2： 1, 2, 3, 4, … k-1, k+1, …, n-2, n-1, n

     序列3： k+1, k+2, k+3, …, n-2, n-1, n, 1, 2, 3,…, k-2, k-1 　　

     序列4：1, 2, 3, 4, …, 5, 6, 7, 8, …, n-2, n-1 　　

      变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：

   　∵ k=m%n; 　　

       ∴ x' = x+k = x+ m%n ; 而 x+ m%n 可能大于n

       ∴x'= (x+ m%n)%n = (x+m)%n 　　得到 x‘=(x+m)%n

        如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：

      令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n].

      递推公式: 　　f[1]=0; 　　f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)

       完整的实现代码如下：

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1. /* 
2. 约瑟夫环递推公式：令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]   
3. 递推公式  f[1]=0;  f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1) 
4. */  
5. #include "stdio.h"  
6. #include "stdlib.h"  
7. int main(void)  
8. {  
9.     int n, m,i, f[20]={0};  
10.     scanf("%d %d",&n,&m);  
11.     for(i=2;i<=n;i++)  
12.     {  
13.         f[i]=(f[i-1]+m)%i;  
14.         printf("%d个人报数，报到%d的出列，最后的胜者下标为%d\n", i,m,f[i]);  
15.     }  
16.     printf("The winner is %d\n", f[n]+1);  
17.     system("pause");  
18. }  

       优化后的代码为：

[cpp] view plain copy

1. #include "stdio.h"  
2. #include "stdlib.h"  
3. int main(void)  
4. {  
5.     int n, m,i, s=0;  
6.     scanf("%d %d",&n,&m);  
7.     for(i=2;i<=n;i++)  
8.     {  
9.         s=(s+m)%i;  
10.     }  
11.     printf("The winner is %d\n", s+1);  
12.     system("pause");  
13. }