Algorithm Gossip (15) 筛选求质数（Eratosthenes ）

前言

This Series aritcles are all based on the book 《经典算法大全》; 对于该书的所有案例进行一个探究和拓展，并且用python和C++进行实现; 目的是熟悉常用算法过程中的技巧和逻辑拓展。

提出问题

15.Algorithm Gossip: 筛选求质数（Eratosthenes ）

说明

除了自身之外，无法被其它整数整除的数称之为质数.

筛选原理

逐步选出小质数对应的集合元素， 直到筛选质数到 sqrt(N)。

分析和解释

计算素数的一个方法是埃氏筛法，它的算法理解起来非常简单：

首先，列出从2开始的所有自然数，构造一个序列：

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, …

取序列的第一个数2，它一定是素数，然后用2把序列的2的倍数筛掉：

3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, …

取新序列的第一个数3，它一定是素数，然后用3把序列的3的倍数筛掉：

5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, …

取新序列的第一个数5，然后用5把序列的5的倍数筛掉：

7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, …

不断筛下去，就可以得到所有的素数。

用Python来实现这个算法，可以先构造一个从3开始的奇数序列：

代码

C语言有待改进的示例

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#define N 1000int main(void) {    int i, j;    int prime[N+1];    for(i = 2; i <= N;i++)        prime[i] = 1;    for(i = 2; i*i <= N;i++) {        if(prime[i] == 1) {            for(j = 2*i; j <= N;j++) {                if(j % i == 0)                    prime[j] = 0;                }            }        }    for(i = 2; i < N;i++) {        if(prime[i] == 1) {            printf("%4d ", i);            if(i % 16 == 0)                printf("\n");            }        }    printf("\n");    return 0;    }

python 的 fitter 实现

def _odd_iter():    n = 1    while True:        n = n + 2        yield n# 筛选函数def _not_divisible(n):    return lambda x: x % n > 0#生成器， 不断返回素数def primes():    yield 2    it = _odd_iter() # 初始序列    while True:        n = next(it) # 返回序列的第一个数        yield n        it = filter(_not_divisible(n), it) # 构造新序列##主函数for n in primes():    if n < 1000:        print(n)    else:        break

PS, 对 fitter , yied 不熟悉的可以百度了解下生成器和迭代器。

yied 主要用于不断生成目标返回到元组的一种append方式 -> 生成器， fitter 为删选机制。

拓展和关联

后记

参考书籍

• 《经典算法大全》
• 维基百科