[JZOJ5054]统计

题目大意

给定n,k，求满足以下条件的整数数组a的数量：
∙ 数组a的大小为k
∙ ∀i∈[1,k],ai∈[1,n]
∙ ∀i∈[1,k),ai≤ai+1
∙ gcdki=1{ai}=1
一个测试点T组数据。答案对109+7取模。

T≤5,1≤n≤109,1≤k≤103

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题目分析

一眼莫比乌斯反演，于是设F(x)表示数值在[1,x]范围内，长度为k的不降序列个数。
根据莫比乌斯反演，显然答案是

∑i=1nμ(i)F(⌊ni⌋)

这个对⌊ni⌋分块，使用杜教筛来求μ(x)的前缀和就可以了。
至于F(x)，由挡板原理得F(x)=(k+x−1x−1)，这个怎么算呢？我预处理107以内的阶乘以及阶乘逆元，对于该范围内的组合数我直接算，否则我暴力计算（反正一个长度为k的连乘）。
至于时间复杂度，低于O(n23k)就是了。

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代码实现

#include <iostream>#include <cstdio>using namespace std;const int P=1000000007;const int K=1000;const int N=10000000;const int V=60000;const int A=32000;int pri[N+5],mu[N+5],sum[N+5],f[N+5],fact[N+5],invf[N+5];int vis[A],S[A];int T,n,k,cnt;int quick_power(int x,int y){    int ret=1;    for (;y;y>>=1,x=1ll*x*x%P) if (y&1) ret=1ll*ret*x%P;    return ret;}inline int getid(int x){return n/x;}void pre(){    fact[0]=1;    for (int i=1;i<=N;++i) fact[i]=1ll*fact[i-1]*i%P;    invf[N]=quick_power(fact[N],P-2);    for (int i=N;i>=1;--i) invf[i-1]=1ll*invf[i]*i%P;    sum[1]=mu[1]=1,f[1]=1;    for (int i=2;i<=N;++i)    {        if (!f[i]) pri[++pri[0]]=f[i]=i,mu[i]=-1;        for (int j=1,x;j<=pri[0];++j)        {            if (1ll*pri[j]*i>N) break;            f[x=pri[j]*i]=pri[j];            mu[x]=f[x]==f[i]?0:-mu[i];            if (!(i%pri[j])) break;        }        sum[i]=sum[i-1]+mu[i];    }}int sieve(int n){    if (n<=N) return sum[n];    int id=getid(n);    if (vis[id]==cnt) return S[id];    vis[id]=cnt;    int ret=0;    for (int st=2,en,x;st<=n;st=en+1) x=n/st,en=n/x,(ret+=1ll*sieve(x)*(en-st+1)%P)%=P;    return S[id]=ret=(P-ret+1)%P;}inline int F(int x){    if (k+x-1<=N) return 1ll*fact[k+x-1]*invf[x-1]%P*invf[k]%P;    int ret=invf[k];    for (int i=x;i<=k+x-1;++i) ret=1ll*ret*i%P;    return ret;}int calc(){    int ret=0;    for (int st=1,en,x;st<=n;st=en+1)    {        x=n/st,en=n/x;        (ret+=1ll*(((++cnt,sieve(en))-(++cnt,sieve(st-1))+P)%P)*F(x)%P)%=P;    }    return ret;}int main(){    freopen("count.in","r",stdin),freopen("count.out","w",stdout);    for (pre(),scanf("%d",&T);T--;printf("%d\n",calc())) scanf("%d%d",&n,&k);    fclose(stdin),fclose(stdout);    return 0;}