五大经典算法之四贪心算法

基本概念：

 所谓贪心算法是指，在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。也就是说，不从整体最优上加以考虑，他所做出的仅是在某种意义上的局部最优解。贪心算法没有固定的算法框架，算法设计的关键是贪心策略的选择，贪心策略使用的前提是局部最优能导致全局最优。必须注意的是，贪心算法不是对所有问题都能得到整体最优解，选择的贪心策略必须具备无后效性，即某个状态以后的过程不会影响以前的状态，只与当前状态有关。所以对所采用的贪心策略一定要仔细分析其是否满足无后效性。

贪心算法的基本思路：

1.建立数学模型来描述问题。

2.把求解的问题分成若干个子问题。

3.对每一子问题求解，得到子问题的局部最优解。

4.把子问题的解局部最优解合成原来解问题的一个解。

实现框架：

从问题的某一初始解出发；

while （能朝给定总目标前进一步）{

利用可行的决策，求出可行解的一个解元素；

                                                   }

由所有解元素组合成问题的一个可行解；

下面给出Leetcode示例：

45. Jump Game II

这道题的要求是给定一整数数组，数组元素表示每次可以跳跃的最大距离。然后初始位置在数组的第一个元素，目的是以最少的步数到达最后元素。

例如A={2，3，1，1，4},初始位置0出为2，最终跳的最少次数是2，即先从0跳到1位置，此时1位置是3，正好可以一次跳到结束位置，加起来正好两次是最小次数了。

采用贪心算法，引入reach变量表示可以能到达的最远处，这也就是全局最优解;当遍历到i时，局部最优解即次局部下最远可达位置A[i]+i，此时全局的最优解reach和A[i]+i的最大值，即reach=max(reach,A[i]+i)

除此之外还要记录跳的次数，至于什么时候step需要加1？答案是当前的i超过了前一步的最远位置。所以引入last变量记录上一步能到达的最远位置。

代码：

int jump(vector<int>& nums){int reach=0;//全局最远可达位置int last=0;//上一步最远能到达位置int step=0;//i需要超过上一步最远位置时加1 for(int i=0;i<=reach&&i<nums.size();i++) {  if(i>last){step++;last=reach;}  reach=max(reach,nums[i]+i); }return reach>=(nums.size()-1)?step:0;//超过也算是到了终点                            }

121. Best Time to Buy and Sell Stock

一个序列代表每天股票卖出价格，贪心法，分别找到价格最低和最高的一天，低进高出，注意最低的一天要在最高的一天之前且只能交易一次。遍历一次，由局部推出全局最优。

int maxProfit(vector<int>& prices){int res=0;if(prices.size()<=1)return res;int curmin=prices[0]; for(int i=0;i<prices.size();i++) {if(curmin>prices[i])curmin=prices[i];  if(res<(prices[i]-curmin))res=(prices[i]-curmin); }//只要大于前者就是收益 return res;}

122. Best Time to Buy and Sell Stock II

相比121，本题有多次买卖机会，同一时刻只能持有一个股票，只有当当前的股票卖掉才能买新的股票。例如:2 3 1 5 6 9 2 那么最大的利益就是2-3和1-9段相加为9。故只需找出局部递增序列。

    int maxProfit(vector<int>& prices) {int res=0;if(prices.size()<=1)return res;for(int i=0;i<prices.size();){    int j=i;    while(j+1<prices.size()&&prices[j+1]>prices[j])j++;    if(j==i){i++;}//一开始就不增加    else {res+=prices[j]-prices[i];i=j+1;}//增加若干                                  }return res;}

123. Best Time to Buy and Sell Stock III
该题最多两次交易。类似121，只不过考虑到最多两次交易，可从前后两段开始。

    int maxProfit(vector<int>& prices) {int res=0;if(prices.size()<=1)return res;//分前后两段vector<int> pre(prices.size(),0);vector<int> aft(prices.size(),0);//pre iteratorint curmin=prices[0];for(int i=1;i<prices.size();i++){    if(curmin>prices[i])curmin=prices[i];    pre[i]=max(prices[i]-curmin,pre[i-1]);                                  }//after int curmax=prices[prices.size()-1];for(int i=prices.size()-2;i>=0;i--){    if(curmax<prices[i])curmax=prices[i];    aft[i]=min(prices[i]-curmax,aft[i+1]);//负数                                  }//mergefor(int i=0;i<prices.size();i++)    if(res<pre[i]-aft[i])res=pre[i]-aft[i];//负数，所以减去aftreturn res;}