欧拉通路、回路

来源：互联网发布：linux 网络配置dhcp 编辑：程序博客网时间：2024/05/01 14:28

欧拉回路

欧拉通路: 通过图中每条边且只通过一次，并且经过每一顶点的通路

欧拉回路: 通过图中每条边且只通过一次，并且经过每一顶点的回路

有向图的基图：忽略有向图所有边的方向，得到的无向图称为该有向图的基图。

无向图

设G是连通无向图，则称经过G的每条边一次并且仅一次的路径为欧拉通路；

如果欧拉通路是回路（起点和终点是同一个顶点），则称此回路是欧拉回路

具有欧拉回路的无向图G成为欧拉图

有向图

（1）设D是有向图，D的基图连通，则称经过D的每条边一次并且仅有一次的有向路径为有向欧拉通路

（2）如果有向欧拉通路是有向回路，则称此有向回路为有向欧拉回路

（3）具有有向欧拉回路的图D称为有向欧拉图

定理

无向图G存在欧拉通路的充要条件是：G为连通图，并且G仅有两个奇度结点（度数为奇数的顶点）或者无奇度结点。

推论

（1）当G是仅有两个奇度结点的连通图时，G的欧拉通路必以此两个结点为端点；

（2）当G是无奇度结点的连通图时，G必有欧拉回路

（3）G为欧拉图（存在欧拉回路）的充分必要条件是 G为无奇度结点的连通图

（有向图）定理

有向图D存在欧拉通路的充要条件是：D为有向图，D的基图连通，并且所有顶点的出度与入度相等；或者除两个顶点外，其余顶点的出度与入度都相等，而这两个顶点中一个顶点的出度与入度之差为1，另一个顶点的出度与入度之差为-1.

推论

（1）当D除出、入度之差为1，-1的两个顶点之外，其余顶点的出度与入度相等时，D的有向欧拉通路必以出、入度之差为1的顶点作为始点，以出、入度之差为-1的顶点作为终点。

（2）当D的所有顶点的出、入度都相等时，D中存在有向欧拉回路。

（3）有向图D为有向欧拉图的充要条件是 D的基图为连通图，并且所有顶点的出、入度都相等。

欧拉回路的求解

两种方法：（1）DFS搜索（Fleury）佛罗莱算法

（1）DFS搜索思想求解欧拉回路的思路为：利用欧拉定理判断出一个图存在欧拉通路或欧拉回路后，选择一个正确的起始顶点，用DFS算法遍历所有的边（每条边只遍历一次），遇到走不通就回退。在搜索前进方向上将遍历过的边按顺序记录下来。这组边的排列就组成了一条欧拉通路或回路。

（2）（Fleury）佛罗莱算法

设G为一个无向欧拉图，求G中一条欧拉回路的算法如下：

（1）任取G中一顶点v0，令P0=v0；

（2）假设沿Pi=v0e1v1e2v2......eivi走到顶点vi，按下面方法从E(G)-{e1,e2,...,ei}中选ei+1。

ei+1与vi相关联

除非无别的边可供选择，否则ei+1不应该是Gi=G-{e1,e2,...,ei}中的桥。

（3）当（2）不能再进行时算法停止。

可以证明的是，当算法停止时，所得到的简单回路Pm=v0e1v1e2v2......emvm，（vm=v0）为G中一条欧拉回路。

备注知识：

设无向图G(V,E)为连通图，若边集E1属于E，在图G中删除E1中所有的边后得到的子图是不连通的，而删除了E1的任一真子集后得到的子图是连通图，则称E1是G的一个割边集。若一条边构成一个割边集，则称该边为割边，或桥

Dfs的方法

#include<iostream>

using namespace std;

void dfs(int);

int map[100][100];

int du[100],path[100];

int n,m,step;

int main()

{

cin>>n>>m;

for(int i=1;i<=m;i++)

{

int x,y;

cin>>x>>y;

map[x][y]=map[y][x]=1;

du[x]++;

du[y]++;

}

int start=1;

for(int i=1;i<=n;i++)

if(du[i]%2==1)

start=i;

step=0;

dfs(start);

for(int i=1;i<=step;i++)

cout<<path[i]<<" ";

return 0;

}

void dfs(int start)

{

int i;

for( i=1;i<=n;i++)

if(map[start][i]==1)

{

map[start][i]=map[i][start]=0;

dfs(i);

}

path[++step]=start;

}

佛罗莱算法

//欧拉路径的输出(此图为无向图)

#include<iostream>

using namespace std;

#define M 200

struct stack

{ int top,node[M];

}s; //顶点的栈结构

int Edge[M][M]; //邻接矩阵

int n; //顶点个数

void dfs(int x) //这里的深度优先跟标准版有所区别，即不需要回溯

{ s.top++;

s.node[s.top]=x; //将即将要扩展的结点压入栈中

for(int i=0;i<n;i++)

{

if(Edge[i][x]) //如果该节点还存在边

{

Edge[i][x]=0;

Edge[x][i]=0; //删除该边，然后搜索另一结点

dfs(i);

break;

}

void Fleury(int x) //对头节点使用Fleury算法查找欧拉路径

{ s.top=0;

s.node[s.top]=x;

while(s.top>=0)

{ int flag=0; //记录当前结点是否有边可以扩展

for(int i=0;i<n;i++)

{

if(Edge[i][s.top])

{ flag=1;

break;

}

if(!flag)

{

cout<<s.node[s.top]+1<<" "; //记录时是从0--n-1，所以应该加1

s.top--; //结点输出了，此结点出栈

}

else

{

s.top--; //因为dfs处理时，需要先进栈，所以这里要先出栈，然后再进栈

dfs(s.node[s.top+1]); //处理那个结点

}

cout<<endl;

}

int main()

{

int m,s,t; //边数，读入的边的起点和终点

int degree,num,start; //每个顶点的度、基度顶点个数、欧拉回路的起点

cin>>n>>m; //n---顶点数 m---边数

memset(Edge,0,sizeof(Edge));

for(int i=0;i<n;i++)

{

cin>>s>>t;

Edge[s-1][t-1]=1;

Edge[t-1][s-1]=1;

}

num=0;

start=0; //如果存在奇度顶点，则从奇度顶点出发，否则从顶点0出发

for(int i=0;i<n;i++)

{

degree=0;

for(int j=0;j<n;j++)

degree+=Edge[i][j];

if(degree%2)

{

num++;

start=i;

}

if(num==0||num==2) Fleury(start);

else cout<<"No Euler path"<<endl;

return 0;

}

模板（无向）

dfs

#include<iostream>#include<queue>using namespace std;int map[110][110],du[500][500],m,n,ans[110],sum,start;void dfs(int k){        for(int i=1;i<=du[k][0];i++)    {        if(map[k][du[k][i]]==1)        {            map[k][du[k][i]]=map[du[k][i]][k]=0;            dfs(du[k][i]);        }    }ans[++sum]=k;    cout<<k<<' ';}int main(){    cin>>n>>m;    int x,y;    for(int i=1;i<=m;i++)    {        cin>>x>>y;        map[x][y]=map[y][x]=1;        du[x][++du[x][0]]=y;        du[y][++du[y][0]]=x;    }    int cnt=0;    start=1;    for(int i=1;i<=n;i++)    {        if(du[i][0]%2==1)cnt++,start=i;        if(du[i][0]==0){cout<<"no";return 0;}    }    if(cnt==0||cnt==2)dfs(start);    else     {        cout<<"no";        return 0;    }}

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