图论3 二分图匹配

可以先在这里学学http://www.renfei.org/blog/bipartite-matching.html

模板

据上面的博客可知，二分图匹配可以分4种类型

最大匹配数：最大匹配的匹配边的数目

最小点覆盖数：选取最少的点，使任意一条边至少有一个端点被选择

最大独立数：选取最多的点，使任意所选两点均不相连

最小路径覆盖数：对于一个 DAG（有向无环图），选取最少条路径，使得每个顶点属于且仅属于一条路径。路径长可以为 0（即单个点）。

定理1：最大匹配数 = 最小点覆盖数（这是 Konig 定理）

定理2：最大匹配数 = 最大独立数

定理3：最小路径覆盖数 = 顶点数 - 最大匹配数

1.最大匹配数

最大匹配的匹配边的数目

洛谷P3386 【模板】二分图匹配

 P3386 【模板】二分图匹配难度 提高+/省选-题目背景二分图题目描述给定一个二分图，结点个数分别为n,m，边数为e，求二分图最大匹配数输入输出格式输入格式：第一行，n,m,e第二至e+1行，每行两个正整数u,v，表示u,v有一条连边输出格式：共一行，二分图最大匹配输入输出样例输入样例#1：1 1 11 1输出样例#1：1说明n,m<=1000，1<=u<=n，1<=v<=m因为数据有坑，可能会遇到v>m的情况。请把v>m的数据自觉过滤掉。算法：二分图匹配

题目描述

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#define maxm 100010#define maxn 1010using namespace std;int n,m,E,num,head[maxm],link[maxn],vis[maxn],sum;struct node{    int to,pre;}e[maxm];void Insert(int from,int to){    e[++num].to=to;    e[num].pre=head[from];    head[from]=num;}int dfs(int x){    for(int i=head[x];i;i=e[i].pre){        int v=e[i].to;vis[v]=1;        if(link[v]==0||dfs(link[v])){            link[v]=x;return 1;        }    }return 0;}int main(){    scanf("%d%d%d",&n,&m,&E);    int x,y;    for(int i=1;i<=E;i++){        scanf("%d%d",&x,&y);        Insert(x,y+n);    }    for(int i=1;i<=n;i++){        memset(vis,0,sizeof(vis));        if(dfs(i))sum++;    }    printf("%d",sum);}

边表 RE+MLE

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#define maxn 1010using namespace std;int n,m,e,link[maxn],re[maxn][maxn],vis[maxn],ans;int dfs(int x){    for(int i=1;i<=m;i++)        if(vis[i]==0&&re[x][i]){            vis[i]=1;            if(link[i]==0||dfs(link[i])){                link[i]=x;return 1;            }        }    return 0;}int main(){    scanf("%d%d%d",&n,&m,&e);    int x,y;    for(int i=1;i<=e;i++){        scanf("%d%d",&x,&y);        re[x][y]=1;    }    for(int i=1;i<=n;i++){        memset(vis,0,sizeof(vis));        if(dfs(i))ans++;    }    printf("%d",ans);}

邻接矩阵 AC

2.最小点覆盖数

选取最少的点，使任意一条边至少有一个端点被选择

有定理在，判断出一个题可以用最小点覆盖数求的时候，就直接用求最大匹配数的代码搞

poj3041Asteroids

跟上一个题按同一个套路来

题意：给出一个n*n的矩阵和矩阵上m个点，问你最少删除了多少行或列之后，点能全部消失。（联想：给出一张图上的m条边的n个相交顶点(xi, yi)，问最少用其中的几个点，就可以和所有的边相关联）思路：匈牙利算法的最小覆盖问题：最小覆盖要求在一个二分图上用最少的点（x 或 y 集合的都行），让每条连接两个点集的边都至少和其中一个点关联。根据konig定理：二分图的最小顶点覆盖数等于最大匹配数。理解到这里，将(x,y)这一点，转化为x_y的一条边，把x = a的这一边，转化为(a)这一点，剩下的就是基础的匈牙利算法实现了。

描述

#include<iostream>#include<cstring>#include<cstdio>using namespace std;#define maxn 501#define maxm 10010int n,k,num,head[maxm],link[maxn],vis[maxn];struct node{    int to,pre;}e[maxm];void Insert(int from,int to){    e[++num].to=to;    e[num].pre=head[from];    head[from]=num;}int dfs(int x){    for(int i=head[x];i;i=e[i].pre){        int v=e[i].to;        if(vis[v]==0){            vis[v]=1;            if(link[v]==0||dfs(link[v])){                link[v]=x;return 1;            }        }    }    return 0;}int main(){    scanf("%d%d",&n,&k);int x,y;    for(int i=1;i<=k;i++){        scanf("%d%d",&x,&y);        Insert(x,y);    }    int ans=0;    for(int i=1;i<=n;i++){        memset(vis,0,sizeof(vis));        if(dfs(i))ans++;    }    printf("%d",ans);}

边表 AC

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#define maxn 1010using namespace std;int n,m,e,link[maxn],re[maxn][maxn],vis[maxn],ans;int dfs(int x){    for(int i=1;i<=m;i++)        if(vis[i]==0&&re[x][i]){            vis[i]=1;            if(link[i]==0||dfs(link[i])){                link[i]=x;return 1;            }        }    return 0;}int main(){    scanf("%d%d",&n,&e);m=n;    int x,y;    for(int i=1;i<=e;i++){        scanf("%d%d",&x,&y);        re[x][y]=1;    }    for(int i=1;i<=n;i++){        memset(vis,0,sizeof(vis));        if(dfs(i))ans++;    }    printf("%d",ans);}

邻接矩阵 AC

3.最大独立数

选取最多的点，使任意所选两点均不相连

poj 1466 Girls and Boys

二分图的最大独立集因为没有给出具体的男生和女生，所以可以将数据扩大一倍，即n个男生，n个女生，
根据定理，最大独立集=总数-匹配数（本题应该除以2） 

给出一系列男女配对意愿信息。求一个集合中的最大人数，满足这个集合中两两的人不能配对。Sample Input70: (3) 4 5 61: (2) 4 62: (0)3: (0)4: (2) 0 15: (1) 06: (2) 0 130: (2) 1 21: (1) 02: (1) 0Sample Output52

题目描述

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#define maxn 510using namespace std;int link[maxn],vis[maxn],map[maxn][maxn],n;int dfs(int x){    for(int i=1;i<=n;i++){        if(vis[i]==0&&map[x][i]){            vis[i]=1;            if(link[i]==0||dfs(link[i])){                link[i]=x;                return 1;            }        }    }return 0;}int main(){    freopen("1.txt","r",stdin);    while(scanf("%d",&n)!=EOF){        memset(map,0,sizeof(map));        memset(link,0,sizeof(link));        for(int i=1;i<=n;i++){            int u,w,v;            scanf("%d: (%d)",&u,&w);u++;            for(int j=1;j<=w;j++){                scanf("%d",&v);v++;                map[u][v]=map[v][u]=1;            }        }        int ans=0;        for(int i=1;i<=n;i++){            memset(vis,0,sizeof(vis));            if(dfs(i))ans++;        }        printf("%d\n",n-ans/2);    }}

AC

4.最小路径覆盖数

对于一个 DAG（有向无环图），选取最少条路径，使得每个顶点属于且仅属于一条路径。路径长可以为 0（即单个点）。