算法分析与设计2017-2-背包问题的贪心算法

算法knapsack的主要计算时间在于将各种物品依其单位重量的价值从大到小排序。因此，算法的计算时间上界为O(nlogn)。为了证明算法的正确性，还必须证明背包问题具有贪心选择性质。这种贪心选择策略对0-1 背包问题就不适用了。看下图例子，其中有3中物品，背包的容量为50千克。物品1重10千克；价值60元；物品2重20千克；价值100元；物品3重30千克，价值120元。因此，物品1每千克价值6元，物品2每千克价值5元，物品3每千克价值4元。若依贪心选择策略，应首先选择物品1装入背包，然而从图b中各种情况可以看出，最优的选择方案是选择物品2和物品3装入背包。首选物品1的两种方案都不是最优的。对于背包问题，贪心选择最终可得到最优解，其选择方案如图c所示。

对于0-1背包问题，贪心选择之所以不能得到最优解是因为在这种情况下，它无法保证最终能将背包装满，部分闲置的背包空间使每公斤背包空间的价值降低了。事实上，在考虑0-1背包问题时，应比较选择该物品和不选择该物品所导致的最终方案，然后再作出最好选择。由此就导出许多互相重叠的子问题。这正是该问题可用动态规划算法求解的另一重要特征。

代码如下：

#include <stdio.h>    #include <iostream>    #include<algorithm>  using namespace std;  #define N 1000  struct bag{        int w;//物品的重量        int v;//物品的价值        double c;//物品的性价比     }a[1001];     bool cmp(bag a,bag b)    {     return a.c>=b.c;    }    double backpack(int n,bag a[],double c)//n表示物品的数量，a表示按照物品性价比排序后的数组，c表示剩余空间     {        double cleft=c;      int i=0;        double b=0;//获得的价值        //当物品i可以装入背包中        while(i<n&&a[i].w<c)        {            c=c-a[i].w;            b+=a[i].v;            i++;            }           //说明物品不能完全装入背包         if(i<n)            b+=1.0*a[i].v*c/a[i].w ;        return b;    }     int main()    {        int c;        int n;        int i;       printf("请输入物品的容量：\n");        scanf("%d",&c);      printf("请输入每个物品的数量：\n");      scanf("%d",&n);        printf("请输入每个物品的重量,价值：\n");          for(i=0; i<n; i++)            {                cin>>a[i].w>>a[i].v;                a[i].c = 1.0*a[i].v/a[i].w;            }            sort(a, a+n, cmp);//按照性价比排序           printf("输出贪心算法最优解：\n");          cout<<backpack(n,a,c);        return 0;       }     

运行效果：

参考博客 0022算法笔记——【贪心算法】背包问题,最优装载问题

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