[网络流] 网络流(22/24)题题解集合

题解合集，题目来源于本校题库。
如果想要原题或SPJ，可以向[e-mail]发邮件。
学校题库上的要求可能与原题不同，我将标注出来，并以本校题库为主。
注：所有最大流的实现均为Dinic算法，费用流的实现均为Edmonds Karp算法，连边均为有向边。

1、飞行员配对方案问题

裸二分图匹配，可以直接Hungary算法。也可以上最大流。
建立源点S和汇点T，S向所有外籍飞行员连流量为1的边，所有外籍飞行员向能与之配对的英国飞行员连流量为1的边，所有英国飞行员向T连流量为1的边，跑S到T的最大流。答案即为最大流。
本校题库并未要求输出方案。Hungary输出result数组，最大流跑一边满流边即可。时间复杂度为O(ne)（Hungary）或O(ne√)（Dinic）。
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2、太空飞行计划问题

最大权闭合图问题。转化为最小割问题。然后根据最大流=最小割，即为求最大流问题。
建立源点S和汇点T，S向每个实验连流量为该实验收益的边，每个实验向对应的仪器连流量为无穷大的边，每个仪器向T连流量为仪器花费的边。答案为所有实验花费减去S到T的最大流。
下面是正确性解释（By Byvoid）：

定义一个割划分出的S集合为一个解，那么割集的容量之和就是(未被选的A集合中的顶点的权值 + 被选的B集合中的顶点的权值)，记为Cut。A集合中所有顶点的权值之和记为Total，那么Total - Cut就是(被选的A集合中的顶点的权值 - 被选的B集合中的顶点的权值)，即为我们的目标函数，记为A。要想最大化目标函数A，就要尽可能使Cut小，Total是固定值，所以目标函数A取得最大值的时候，Cut最小，即为最小割。

原题要求输出实验方案，本校题库未要求输出。方案即为S的最大流路径上的点。时间复杂度O((n+m)2e)。
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3、最小路径覆盖问题

题干说的什么玩意，最后求一个最大流……
对于原图的每一个点拆成两个点x,y，x,y之间连流量为无穷大的边，建立源点S和汇点T，S向每个x连接流量为1的边，每个y向T连接流量为T的边，跑S到T的最大流。答案为原图点数减最大流。
下面为正确性解释（By Byvoid）：

对于一个路径覆盖，有如下性质：
1、每个顶点属于且只属于一个路径。
2、路径上除终点外，从每个顶点出发只有一条边指向路径上的另一顶点。
所以我们可以把每个顶点理解成两个顶点，一个是出发，一个是目标，建立二分图模型。该二分图的任何一个匹配方案，都对应了一个路径覆盖方案。如果匹配数为0，那么显然路径数=顶点数。每增加一条匹配边，那么路径覆盖数就减少一个，所以路径数=顶点数 - 匹配数。要想使路径数最少，则应最大化匹配数，所以要求二分图的最大匹配。
注意，此建模方法求最小路径覆盖仅适用于有向无环图，如果有环或是无向图，那么有可能求出的一些环覆盖，而不是路径覆盖。

原题要求输出方案，本校题库并未要求。方案即为S出发的所有满流边，每条满流边上的点。时间O(n2e)。
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4、魔术球问题

转化为答案判定性问题，二分答案，把每个球看成一个点，如果这两个球可以相邻，就将这两个球连接起来，建立源点S和汇点T，就可以同上一题了。注意连接有向边时有序，可以小编号向大编号连边，亦可以从大往小连接。
原题要求输出方案，本校题库未要求。方案输出同上题。
时间复杂度O(maxans2elog2maxans)
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5、圆桌问题

最大流问题，建立源点S和汇点T，S向每个单位连流量为单位人数的边，每个单位向每张桌子连流量为1的边，每张桌子向T连流量为桌子容量的边，跑S到T的最大流。如果最大流与单位代表数相等，即为有解，否则为无解，若有解，对于每一个公司，若对于一张桌子满流则为有人坐这张桌子，输出之。时间复杂度为O((n+m)2(nm+n+m))。此题有SPJ。
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6、最长递增子序列问题

请注意：这里的最长递增子序列指的是最长不降子序列！

第一问经典DP题，O(n2)处理出以i为终点的最长递增子序列长度；
第二问最大流，对于一个位置拆成两个点x,y，x,y连接流量为1的边，建立源点S和汇点T，对于每个位置，如果它的dp[i]=1，由S向i.x连流量为1的边，如果它的dp[i]=ans（ans为第一问答案），则由i.y向T连流量为1的边，跑S到T的最大流；
第三问就是把S向位置1.x，1.x向1.y，n.x向n.y，n.y向T的边流量设为无穷大，再跑S到T的最大流。
时间复杂度为O(n2+n4)，显然数据并没有达到最坏复杂度，并且Dinic跑网络流速度玄学。
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7、试题库问题

类似圆桌问题的建边，建立源点S和汇点T，S向每个类别连接流量为需要题目数的边，每个类别向所属的题目连流量为1的边，每道题向T连流量为1的边。跑S到T的最大流。输出类似圆桌问题，同样有SPJ。
本校输出为：

输出组卷方案。如果有解则在第一行输出1，文件第i+1行输出类型i的题号。如果有多个满足要求的方案，只要输出1个方案。如果问题无解，则输出0。（为方便SPJ，输出与原题输出不同）

时间复杂度为O((n+k)2e)
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8、机器人路径规划问题

大神题，至今没人用网络流解出（解出的都是错的……），可以网搜参考一些玄学IDA*等算法。数据可能有误。

9、方格取数问题

因为方格均需不相邻，所以将棋盘黑白染色，所有相邻格子的颜色互不相同，建立源点S和汇点T，如果为白点，S向这个点连流量为这个格子的数的边，如果这个点为黑点，这个点向T连流量为这个格子的数的边。然后这个点向四周的格子连边，注意只能白点向黑点连边，然后求全图最小割（其实就是S到T的最大流），然后用所有数字之和减去最小割即为答案。时间复杂度为O((nm)2e)
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10、餐巾计划问题

最小费用最大流问题。对于每天拆成两个点x,y，x,y之间没有边。建立源点S和汇点T。对于每一天i，S向i.x连流量为该天需要餐巾数，费用为0的边，i.y向T连流量为该天需要餐巾数的边。对于i+1≤N的天，i.x向(i+1).x连接流量无穷大，费用为0的边，对于i+m≤N的天，i.x向(i+m).y连流量无穷大，费用为f的边，对于i+n≤N，i.x向(i+n).y连流量无穷大，费用为s的边，对于任意天，S向i.y连流量无穷大，费用为p的边。然后跑S到T的最小费用最大流即可。时间为O(Ne2)。
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11、航空路线问题

接着拆点，对于每个城市拆成两个点x,y，除了1号城市和n号城市，每个城市i的i.x向i.y连流量为1，费用为0的边，1.x向1.y连流量为2，费用为0的边，n.x向n.y连流量为2，费用为0的边，对于每条航线连接的两个城市c1,c2，规定c1<c2（如果大于就交换），如果c1=1并且c2=n，c1.y向c2.x连流量为2，费用为1的边，否则c1.y向c2.x连流量为1，费用为1的边。跑1到n的最大费用最大流。如果最后流量不为2，则无解，否则从1号城市开始的满流路径即为答案路径，费用为最长路径所经城市数。时间复杂度O(ne2)。本题有SPJ。
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12、软件补丁问题（补丁VS错误）

二进制压状态，把每个二进制状态当做点，跑最短路即可。可以隐式建边，用二进制判断是否可以转移。网上题解多得是我就不说了。时间复杂度O((n+m)2n)。
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这根本不是网络流啊。
CTSC1999太深了。（这是第一个）

13、星际转移问题

像魔术球问题一样，二分答案，变成答案判定性问题。首先判断是否有一条从地球到月球的路线，如果没有果断无解，这个判断可以并查集完成。
二分答案的判定靠最大流判，如果这个答案为d，则对于每个太空站i拆成d+1个点，分别为0−d天。记为<i,d>建立源点S和汇点T，对于每一天，S向<0,d>连流量无穷大的边，<−1,d>向T连流量无穷大的边，如果这天不是第0天，如果太空船第d−1天在x太空站，第d天在y太空站，则<a,d−1>向<b,d>连流量为太空船容量的边，对于每个太空站i，<i,d−1>向<i,d>连流量为无穷大的边。求S到T的最大流。
时间复杂度O(v2elog2maxans)。
还是CTSC1999的题。
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14、孤岛营救问题

这TM不是拯救大兵瑞恩那道题吗（又又又是CTSC1999）（我出生那年的CTSC发生了什么……）。
潜入辛迪加做过吗？
没做过？
分层图，对于原图建立出2p层，每层表示一种钥匙取得的状态。对于每个钥匙点，如果有状态没有获得这个钥匙，便可以由没有这个钥匙的状态转移到获得了这个钥匙的状态，代价为0。于是建边，边权为0。对于可以走到空地的格子，对于2p层图都连边权为1的边，对于到达另一个格子需要钥匙，对于每一个已获得这种钥匙的状态，连边，边权为1。然后对这么多点跑个最短路即可。答案为可达(N,M)的状态中距离最小值。时间复杂度大概是O(nm2p)。
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15、汽车加油行驶问题

接着分层图，建立K层图，记在地图上位置为i，剩余油量为left的状态为<i,left>，则建边如下：
1、如果油箱不满（left<K）且i为油库点，<i,left>向<i,K>连边权为A的边；
2、如果油箱不满（left<K）且i不为油库点，<i,left>向<i,K>连边权为A+C的边；
3、如果油箱不空（left>0）且i为油库点，<i,K>向<j,K−1>连边，如果在左下，则边权为B，否则边权为0；
4、如果油箱不空（left>0）且i不为油库点，<i,left>向<j,left−1>连边，如果在左下，则边权为B，否则边权为0。
然后就是求个最短路了……答案为dis[<(n,n),i>]的最小值。时间复杂度O(n2k)。
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16、数字梯形问题

最大费用最大流问题，对于每个点i，拆点x,y，如果允许一个点走多次，则i.x向i.y连流量为无穷大，边权为数字的边，否则i.x向i.y连流量为1，边权为数字的边。然后向左下和右下连边，如果路径允许相交，则i.y向j.x连流量为无穷大，边权为0的边，否则i.y向j.x连流量为1，边权为0的边。建立源点S和汇点T，S向第一行的所有数i.x连流量为1，边权为0的边，对于可以路径相交，最后一行所有数i.y向T连流量为无穷大，边权为0的边，否则流量为1。然后求S到T的最大费用最大流。时间复杂度为O(ve2)。
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17、运输问题

接着费用流，建立源点S和汇点T，S向每个仓库连接流量为货物数，边权为0的边，每个零售店向T连接流量为所需货物数，边权为0的边。对于每个仓库和商店，连接流量为无穷大，费用为转移花费的边，先跑S到T的最小费用最大流，再跑最大费用最大流。时间为O((n+m)(nm)2)。
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18、分配问题

还是费用流，建立源点S和汇点T，S向每个人连接流量为1，边权为0的边，每个任务向T连接流量为1，边权为0的边。对于每个人和任务，连接流量为1，费用为工作费用的边，先跑S到T的最小费用最大流。时间为O((n+m)(nm)2)。原题还得跑个最大费用最大流，本校不用跑这问。
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19、负载平衡问题

费用流（多少个了…….），因为要使仓库的库存数量相同，所以这个数值便是仓库的库存数量的平均值，记平均值为x，建立源点S和汇点T，S向i仓库连接费用为0，流量为原库存量的边，i仓库向T连费用为0，流量为x的边，然后向前一个和后一个仓库连流量为无穷大，费用为1的边，跑S到T的最小费用最大流。时间复杂度为O(n3)。
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20、深海机器人问题

费用流（好烦啊……），建立源点S和汇点T，一个点向下一个点连接两种边，一种为流量为1，费用为标本价值的边，另一种是流量为无穷大，费用为0的边。S向出发点连接流量为该点出发机器人个数，边权为0的边，结束点向T连接流量为该点结束机器人个数，边权为0的边，求最大费用最大流。时间复杂度为O((PQ)3)。
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21、最长k可重区间集问题

接着费用流，其实是最大权不相交路径问题。离散化所有端点，建立源点S和汇点T，S向1点连接流量为k，边权为0的边，然后每个点向下一个点连接流量为无穷大，费用为0的边。对于每个线段，线段左端点向右端点连接流量为1，边权为线段长的边。最后的一个端点向T连接流量为k,费用为0的边，跑最大费用最大流即可。时间复杂度O(n(m+n)2)。
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22、最长k可重线段集问题

Byvoid：这题和上一题一样。
完全不一样啊，这题出现斜率不存在的边就相当于出现了自环，还跑什么最大费用最大流……并且上升到二维就有可能不能单纯离散化而需要奇奇怪怪的维护方式了……所以这道题和机器人路径规划问题一样看看就行了……
就是这两道题使得(22/24)的……

23、火星探险问题

费用流，对于一个位置拆成两个点x,y，对于一个位置i，如果这个位置是平地，则i.x向i.y连费用为0，流量为无穷大的边，如果这个位置为石块，再多连一条费用为1，流量为1的边，如果这个点为障碍，则这两个点之间连边。对于每一个点，i.y向j.x连流量为无穷大，费用为0的边，建立源点S和汇点T，S向(1,1)点连接流量为k，费用为0的边，(Q,P)向T连接流量为无穷大，费用为0的边。跑最大费用最大流。所有满流边构成多条满流路径，每条从S到T的路径就是一个探测车的路径。时间复杂度大概为O((PQ)3)。本题有SPJ。
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24、骑士共存问题

类似于方格取数问题，先将棋盘黑白染色，题目中图片显示如果一个格子放了骑士，那么不能放骑士的格子颜色与这个格子不同。于是建立源点S和汇点T，S向白点（图片中黄点）连接流量为1的边，然后白点向不能走的黑点连流量为1的边，最后所有黑点向T连流量为1的边。这里出现的白点和黑点均需没有障碍。然后求个S到T的最大流，答案为所有可用的格子数减最大流。时间复杂度O(n4e)
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