读书笔记：Hyperbolic reductions for Einstein's equations(Helmut Friedrich 1996)

2.基本记号

• (1) 真空场方程
  0=Rij=−12gkl{gij,kl+gkl,lj−gil,kj−gkj,il}+H′ij(g,∂g)
• (2)规范和坐标规范的选择 令Γk=gijΓkij,可将上式化成
  0=−12gklgij,kl+gkl,lj−gk(i∇j)Γk+H′ij(g,∂g)
• 注意观察两点：
  
  • （a）对于给定的坐标xi,可以得到Γi=−∇k∇kxi;
  • （b）对任意一个定义在R4上开集里的光滑函数fi′=fi′(xj′),考虑半线性波方程∇k∇kxj′=−fi′(xj′),其中xj′是待解的。在使得dxi′独立的某超曲面上去解它的Cauchy 问题，可以得到一个局部坐标系，假如Christoffel 符号是在这个坐标系下写出来的，就会有
    Γj′=fj′
    因此，我们总是可以适当的选择坐标，使得函数Γj被局部表示为预先指定的样子。反过来呢，这些f函数也可以通过带初值的波方程决定坐标，所以把这类的函数称之为 “规范源函数”。
• (3)初值问题 选择源函数fμ=Γμ
  0=−12gklgij,kl+gkl,lj−gk(i∇j)fk+H′ij(g,∂g)(2.1)
• (4)验证 为了验证（3）的解满足Einstein 场方程，推出Γμ=fμ 思考1：这里啥意思？
  使用两次缩并Bianchi 恒等式，联合（2.1）得到
  ∇k∇k(Γμ−fμ)+Rμρ(Γρ−fρ)=0
  在初值超曲面上给Cauchy 初值Γμ=fμ 由于是波方程，所以，在初值超曲面的某领域拥有唯一解，推出
  Γμ=fμ

3.The Basic equations

曲率张量:

Rijkl=Γilj,k−Γikj,l+ΓiktΓtlj−ΓiltΓtkj(3.1)

缩并Bianchi 恒等式：曲率张量满足

∇lRlijk=∇jRik−∇kRij(3.2)

真空Einstein 方程Rij=0等价于(记Cijkl为weyl张量)

Rijkl=Cijkl(3.3)

Weyl 张量满足Bianchi 恒等式

∇lClijk=0(3.4)