【GDOI2017第二轮模拟day1】最长路径（性质题，容斥，组合数学）

Description

在Byteland 一共有n 个城市，编号依次为1 到n，它们之间计划修建n(n-1)/2条单向道路，对于任意两个不同的点i 和j，在它们之间有且仅有一条单向道路，方向要么是i 到j，要么是j 到i。换句话说，这是一个n 个点的竞赛图。
Byteasar 居住在1 号城市，他希望从1 号城市出发，沿着单向道路不重复地访问一些城市，使得访问的城市数尽可能多。
请写一个程序，帮助Byteasar 计算有多少种道路修建方式，使得从1 号点出发的最长简单路径经过点数恰好为k，由于答案可能很大，请对P 取模输出。

Solution

这是一道性质题。考场的时候肯定是打表了，60分！！！
首先我们知道一些性质：
1、竞赛图如果是一个强连通分量，那么这个图肯定有哈密顿回路（可用数学归纳法证明，假设有一个k个点的满足这个性质，多加一个点……）
2、这个竞赛图经过强连通分量缩点之后会形成一条链（有一个贡献答案的主链和很多小链构成）
3、答案为1号节点在所在的强连通分量的点数+链上1的强连通点后面的点总数（这些是缩点之前的）
那么现在我们DP一下就好了。
我们设f[i]表示节点数为i的带标号竞赛图的方案数=2(i−1)∗i2
g[i]表示i这个竞赛图可以缩成一个点的方案数（及是个强连通分量）
g可以用容斥来做。
g[i]=f[i]−∑i−1j=1Cjng[j]∗f[i−j]
然后根据性质3，我们枚举i为1号所在的强连通分量的节点数量和之后的节点数量j
∑ni=1|sumn−ij=0ans[i+j]+=Ci−1n−1Cjn−ig[i]∗f[j]∗f[n−i−j]
因为i枚举的时候包含了1，所以组合数要注意一下。

Code

#include<iostream> #include<stdio.h>#include<string.h>#include<algorithm>#include<math.h>#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)typedef long long ll;using namespace std;const int maxn=2e3+7;ll i,j,k,l,t,n,m,mo,ans[maxn];ll c[maxn][maxn],f[maxn],g[maxn],er[maxn*maxn];int main(){//  freopen("path.in","r",stdin);//  freopen("path.out","w",stdout);    scanf("%d%d",&n,&mo);    fo(i,1,n)c[i][0]=c[0][i]=1;    fo(i,1,n)fo(j,1,i)c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mo;c[0][0]=1;    er[0]=1;fo(i,1,n*n-1)er[i]=er[i-1]*2%mo;    fo(i,1,n)f[i]=er[(i-1)*i/2];    f[0]=g[0]=1;    fo(i,1,n){        g[i]=f[i];        fo(j,1,i-1)        g[i]=(g[i]-c[i][j]*g[j]%mo*f[i-j]%mo)%mo;    }    fo(i,1,n){        fo(j,0,n-i){            ans[i+j]=(ans[i+j]+c[n-1][i-1]*c[n-i][j]%mo*g[i]%mo*f[n-i-j]%mo*f[j]%mo)%mo;        }    }    fo(i,1,n){        ans[i]=(ans[i]+mo)%mo;        printf("%lld\n",ans[i]);    }}