【AtCoder Grand 013E】Placing Squares 题解

题目大意

      有一个长度为 n 的数轴（看作是 n 个格子排成一行），其中有 m 个交界位置被标记了。你要用若干正方形去覆盖这个数轴（如下图），有 3 个规定：
      1、正方形边长必须是正整数
      2、数轴要被恰好覆盖，即不能有空、不能有地方被多个正方形覆盖。
      3、被标记的位置不能是正方形的交界。
      一种方案的价值是所有正方形的面积的积。求所有合法方案的价值和。
      n<=1e9， m<=1e5

题解

      这个很妙啊。。。

      首先瞎写一个dp：f[i]=∑i−1j=0f[j]∗(i−j)2，然后发现这个平方非常不好搞。

      于是转化模型，把 x2 看作是长度为 x 的段内，恰好放一个红球和一个蓝球（可以放在同一位置）的方案数。
      于是可以设 f[i][j]（j∈[0,2]） 表示到了第 i 个格子，当前段内有 j 个球，的方案数。转移就是讨论一下 9 个转移，然后写出转移矩阵就可以矩阵乘法了。
      至于标记的位置，实际上是限定了某些位置的 f[i][2] 不能转移到 f[i+1]。
      所以时间是 O(m log n)