完全背包

完全背包：有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

状态转移方程

这个问题非常类似于01背包问题，所 不同的是每种物品有无限件。也就是从每种物品的角度考虑，与它相关的策略已并非取或不取两种，而是有取0件、取1件、取2件……等很多种。如果仍然按照解 01背包时的思路，令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值。仍然可以按照每种物品不同的策略写出状态转移方程：

f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k*c[i]<=v}

可能不是特别好理解，我理解的状态转移方程是：f[i][v]=max{f[i-1][v-c[i]],f[i][v-c[i]]+w[i};

解释：当放置第i件物品时，此时物品容量为v时，f[i][0 .1 .2 .3. 4 ....v]表示放置第i件物品时，各容量下的最优解，（完全背包从0到v计算，不是从v到0计算），当计算容量为v时，这时v容量之前的容量都已得到了最优解，这里不必关注v之前容量下到底放置多少件i物品，因为物品数是无限的，所以我们不用考虑容量为v时，要放置几件物品，在状态转移方程中，我们是基于f[i][o, 1, 2,3, ...v-1]来进行计算的，所以在v容量下只考虑放置一件就行。

HDU 1114 Piggy Banks

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1114

思路：在满足容量的情况下，求解最小的金额。求解最小可以下把dp数组值设为最大，（数量无限），如果最后的dp[v]的值是初始值，那么没有满足容量。

代码：

#include<stdio.h>#include<string.h>int dp[505][10005];int value[505], weight[505];int start, end, v;int n;int min(int a, int b) {    return a > b ? b : a;}void judge() {    int i, j;    for(i = 1; i <= n; i++)        for(j = 0; j <= v; j++) {            dp[i][j] = dp[i-1][j];            if(j >= weight[i])                dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-weight[i]] + value[i]);        }    if(dp[n][v] == 10000000)        printf("This is impossible.\n");    else        printf("The minimum amount of money in the piggy-bank is %d.\n", dp[n][v]);}int main() {    int t, i, j;    scanf("%d", &t);    while(t--) {        scanf("%d%d", &start, &end);        v = end - start;        scanf("%d", &n);        memset(dp, 0, sizeof(int)*505*1005);        for(j = 0; j <= n; j++)            for(i = 1; i <= v; i++)                dp[j][i] = 10000000;        for(i = 1; i <= n; i++)            scanf("%d%d", &value[i], &weight[i]);        judge();    }}

一维数组实现：理解了二维数组的实现一维的也就很简单了。

代码：

#include<stdio.h>int dp[10005];int value[505], weight[505];int start, end, v;int n;int min(int a, int b) {    return a > b ? b : a;}void judge() {    int i, j;    for(i = 1; i <= n; i++)        for(j = weight[i]; j <= v; j++)            dp[j] = min(dp[j], dp[j-weight[i]] + value[i]);    if(dp[v] == 10000000)        printf("This is impossible.\n");    else        printf("The minimum amount of money in the piggy-bank is %d.\n", dp[v]);}int main() {    int t, i;    scanf("%d", &t);    while(t--) {        scanf("%d%d", &start, &end);        v = end - start;        scanf("%d", &n);        for(i = 1; i <= v; i++)            dp[i] = 10000000;        dp[0] = 0;        for(i = 1; i <= n; i++)            scanf("%d%d", &value[i], &weight[i]);        judge();    }}




                                             
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